Người ta dự định trồng hoa để trang trí vào phần tô đậm trong hình vẽ dưới đây. Biết rằng phần tô đậm là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 6\) và \(y = g(x) = - b{x^2} + mx + n\) trong đó \(a,b,c,m,n \in \mathbb{R}\). Biết đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt bằng \( - 2;1;3\). Chi phí trồng hoa là \(150\;000\) đồng/\(1{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\) và đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Tổng chi phí để trồng hoa theo dự định là bao nhiêu nghìn đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Đáp án: 9,38.

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như trên với \(A\left( {5;0;0} \right)\), \(B\left( {0;b;0} \right)\), \(C\left( {0;0;c} \right)\) và \(M\left( {1;1;1} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right):\frac{x}{5} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) \(\left( {b,c > 0} \right)\).

Điểm \(M \in \left( {ABC} \right) \Rightarrow \frac{1}{5} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{4}{5}\).

Thể tích khối chóp \[O.ABC\]: \({V_{O.ABC}} = \frac{1}{6} \times OA \times OB \times OC = \frac{{5bc}}{6}\).

Khoảng cách từ \[O\] đến mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\]:

\[d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {\frac{0}{5} + \frac{0}{b} + \frac{0}{c} - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{b}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{c}} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{25}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }}\].

Diện tích \[\Delta ABC\]: \[{S_{ABC}} = \frac{{3{V_{O.ABC}}}}{{d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right)}} = \frac{{\frac{{5bc}}{2}}}{{\frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{25}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }}}} = \frac{1}{2}\sqrt {{b^2}{c^2} + 25\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} \].

Biểu thức \[{b^2}{c^2} + 25\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\] đối xứng về vai trò của \[b\] và \[c\].

Suy ra \[{\left[ {{b^2}{c^2} + 25\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} \right]_{\min }}\] khi \[b = c \Rightarrow \frac{1}{b} = \frac{1}{c} = \frac{2}{5} \Rightarrow b = c = \frac{5}{2}\].

Vậy \[{\left( {{S_{ABC}}} \right)_{\min }} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2}{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + 25\left[ {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2}} \right]}  = \frac{{75}}{8} \approx 9,38\]mét vuông.

Đáp án: 1,5.

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC\) thì \(AH \bot \,BC\).

Có \(AH \bot BB'\), vì \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên \(BB' \bot \left( {ABC} \right)\).

Do đó \(AH \bot \left( {BCC'B'} \right)\) tại điểm \(H\) \( \Rightarrow d\left( {A,\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AH\).

Ta có \(AA'||\left( {BCC'B'} \right)\) nên \(d\left( {AA',\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AH\).

Ta có \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt 3 \).

Do đó \(AH = \frac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{2\sqrt 3 }} = \frac{3}{2}\)\( = 1,5\).