PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Ông An đang xây một ngôi nhà, trong quá trình xây phải đổ bê tông cho một mái và đặt lớp ngói. Ông tính toán việc ghép cốt pha đi qua điểm \(B\) trên một chân tường và điểm \(C\) trên cột góc nhà, đồng thời mặt ghép cốt pha phải đi qua điểm \(A\) trên chân tường còn lại cách điểm \(O\) ở góc giao hai chân tường một khoảng \(5{\rm{m}}\). Ông cũng tận dụng một chiếc cột có sẵn để chống mặt ghép (xem hình dưới).

 

Biết rằng hai bức tường được xây vuông góc với nhau, mỗi bức tường đều vuông góc với sàn mái nhà, cột có chiều cao \(1{\rm{m}}\) và cách hai bức tường với cùng khoảng cách \(1{\rm{m}}\) (đỉnh cột là điểm \(M\)). Diện tích nhỏ nhất của khung ghép cốt pha \(ABC\) là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

a) Đúng

Sau 8 phút, quãng được tên lửa bay được là \[OA = \sqrt {{{140}^2} + {{60}^2} + {6^2}}  \approx 152,4\] (km)

Vec-tơ vận tốc đơn vị theo thời gian (km/phút) là: \[\overrightarrow v  = \frac{1}{8}\overrightarrow {OA}  = \left( {\frac{{35}}{2}\,;\,\frac{{15}}{2}\,;\,\frac{3}{4}} \right)\]

Toạ độ tên lửa sau t phút là \[M\left( t \right) = \left( {\frac{{35}}{2}t\,;\,\frac{{15}}{2}t\,;\,\frac{3}{4}t} \right)\]

b) Đúng

Toạ độ tên lửa sau 4 phút là: \[M\left( 4 \right) = \left( {\frac{{35}}{2}.4\,;\,\frac{{15}}{2}.4\,;\,\frac{3}{4}.4} \right) = \left( {70\,;\,30\,;\,3} \right)\]

Vậy độ cao của tên lửa sau 4 phút là 3 km.

c) Sai

Toạ độ tên lửa sau 12 phút là \[M\left( {12} \right) = \left( {\frac{{35}}{2}.12\,;\,\frac{{15}}{2}.12\,;\,\frac{3}{4}.12} \right) = \left( {210\,;\,90\,;\,9} \right)\]

d) Sai

Ta có \[\overrightarrow {OA}  = \left( {140\,;\,60\,;\,6} \right)\], \[\overrightarrow k  = \left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)\]

Vì \[\left( P \right)\] là mặt phẳng chứa quỹ đạo bay OA của tên lửa và vuông góc với mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] nên

\[\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {OA} \,;\,\overrightarrow k } \right] = \left( {60\,;\, - 140\,;\,0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {3\,;\, - 7\,;\,0} \right)\]

Mặt phẳng \[\left( P \right)\] đi qua \[O\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\], \[\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {3\,;\, - 7\,;\,0} \right)\] có phương trình là \[3x - 7y = 0\].

Đáp án: 3163

Ta có \(f(x) - g(x) = (a{x^3} + b{x^2} + cx + 6) - ( - b{x^2} + mx + n) = a{x^3} + 2b{x^2} + (c - m)x + 6 - n\).

Dựa vào đồ thị, ta quan sát thấy parabol \(y = g(x)\) đi qua gốc tọa độ \(O(0;0)\) nên \(g(0) = 0 \Rightarrow n = 0\)

Theo giả thiết, đồ thị hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\) cắt nhau tại \(3\) điểm có hoành độ \(x =  - 2\), \(x = 1\), \(x = 3\) nên phương trình \(f(x) - g(x) = 0\) có \(3\) nghiệm là \( - 2;1;3\). Do đó ta có thể viết: \(f(x) - g(x) = a(x + 2)(x - 1)(x - 3)\) \( = a({x^3} - 2{x^2} - 5x + 6)\) \( = a{x^3} - 2a{x^2} - 5ax + 6a\).

Đồng nhất hệ số tự do của hai đa thức \(f(x) - g(x)\), ta được: \(6 - n = 6a \Rightarrow 6 - 0 = 6a \Rightarrow a = 1\).

Khi đó, hiệu hai hàm số là: \(f(x) - g(x) = {x^3} - 2{x^2} - 5x + 6\).

Diện tích \(S\) của phần tô đậm là: \(S = \int_{ - 2}^3 {\left| {{x^3} - 2{x^2} - 5x + 6} \right|} {\rm{d}}x\).

Dựa vào đồ thị, trên đoạn \([ - 2;1]\) đồ thị hàm số \(f(x)\) nằm phía trên đồ thị hàm số \(g(x)\) (hay \(f(x) \ge g(x)\)), và trên đoạn [1; 3] đồ thị hàm số \(f(x)\) nằm phía dưới đồ thị \(g(x)\) (hay \(f(x) \le g(x)\)). Phá dấu giá trị tuyệt đối ta có:

\(S = \int_{ - 2}^1 {({x^3} - 2{x^2} - 5x + 6)} {\rm{d}}x - \int_1^3 {({x^3} - 2{x^2} - 5x + 6)} {\rm{d}}x\).

Tính các tích phân thành phần:

\(\int_{ - 2}^1 {({x^3} - 2{x^2} - 5x + 6)} {\rm{d}}x = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{{5{x^2}}}{2} + 6x} \right)} \right|_{ - 2}^1 = \frac{{37}}{{12}} - \left( { - \frac{{38}}{3}} \right) = \frac{{63}}{4}\).

\(\int_1^3 {({x^3} - 2{x^2} - 5x + 6)} {\rm{d}}x = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{{5{x^2}}}{2} + 6x} \right)} \right|_1^3 =  - \frac{9}{4} - \frac{{37}}{{12}} =  - \frac{{16}}{3}\).

Suy ra diện tích phần tô đậm là: \(S = \frac{{63}}{4} - \left( { - \frac{{16}}{3}} \right) = \frac{{253}}{{12}}{\rm{ (}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\).

Tổng chi phí để trồng hoa theo dự định là: \(T = \frac{{253}}{{12}} \times 150\;000 = 3\;162\;500\) (đồng).

Đổi sang đơn vị nghìn đồng ta được 3162,5 nghìn đồng. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị ta được 3163 (nghìn đồng).