Cho hai biểu thức: \[M = \frac{{x - 3}}{{x + 3}} + \frac{{9x - 9}}{{{x^2} - 9}},\] \(N = \frac{{x + 1}}{{x - 3}}\) với \(x \ne - 2;\,\,x \ne \pm 3.\)

a) Tính giá trị biểu thức \(N\) biết \[x = 1.\]

b) Chứng minh: \[M = \frac{x}{{x - 3}}.\]

c) Tìm \[x\] nguyên để biểu thức \[P = M + N\] đạt giá trị nguyên.

Hiện tại bạn An để dành được \[400{\rm{ }}000\] đồng. Bạn An đang có ý định mua một chiếc xe đạp trị giá \[1{\rm{ }}850{\rm{ }}000\] đồng. Để thực hiện được điều trên, bạn An đã lên kế hoạch hằng ngày đều tiết kiệm \[10{\rm{ }}000\] đồng. Gọi \(y\) (đồng) là số tiền bạn An tiết kiệm được sau \(x\) ngày.

a) Viết công thức biểu thị \(y\) theo \(x?\)

b) Hỏi sau bao nhiêu ngày kể từ ngày bắt đầu tiết kiệm thì bạn An mua được chiếc xe đạp đó?

Cho \(0 < m < n\) và \(3\left( {{m^2} + {n^2}} \right) = 10mn.\) Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{m + n}}{{m - n}}.\)

Thực hiện phép tính:\( = \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x + 2}}:\frac{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}{{3\left( {x + 2} \right)}}\)

a) \(\frac{{3{x^2}{y^3} + 2}}{{3x{y^4}}} - \frac{2}{{3x{y^4}}}.\)                                                                  b) \(\frac{{{x^2} - 9}}{{x + 2}}:\frac{{{x^2} + 6x + 9}}{{3x + 6}}.\)

Cho \[\Delta ABC\] vuông tại \[C\] \[\left( {CB > CA} \right),\] với \(E\) là trung điểm của \[AB.\] Từ \[E\] kẻ \[ED\] vuông góc với \[BC\] \[\left( {D \in BC} \right),\] \[EH\;\] vuông góc với \[AC\] \[\left( {H \in AC} \right).\]

a) Chứng minh tứ giác \[DCHE\] là hình chữ nhật.

b) Lấy điểm \[M\] thuộc tia đối tia \[ED\] sao cho \[EM = ED.\] Chứng minh: \[DC = DB\] và tứ giác \[AMBD\] là hình bình hành.

c) Gọi \[I,{\rm{ }}N\] lần lượt là giao điểm của \[CM,{\rm{ }}CE\] với \[AD.\] Tính \[\frac{{IN}}{{MB}}?\]