Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a + b + c = 3.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a}}.\)

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + y = 0\,\,\,\,\,\left( {1a} \right)}\\{x + 2y = 5\,\,\,\,\,\left( {2a} \right)}\end{array}} \right.\)

Từ phương trình (1a), ta có \(y = - 3x.\,\,\,\left( {3a} \right)\)

Thế \(y = - 3x\) vào phương trình (2a), ta được:

\(x + 2 \cdot \left( { - 3x} \right) = 5\) hay \( - 5x = 5\) nên \(x = - 1\).

Thay \(x = - 1\) vào phương trình (3a), ta được: \(y = - 3 \cdot \left( { - 1} \right) = 3.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( { - 1;\,\,3} \right)\).

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 5y = 21\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {1b} \right)}\\{ - 6x + 3y = - 45\,\,\,\left( {2b} \right)}\end{array}} \right.\)

Từ phương trình (2a), ta có: \(x = 5y + 21.\,\,\,\left( {3b} \right)\)

Thế \(x = 5y + 21\) vào phương trình (2b), ta được:

\( - 6\left( {5y + 21} \right) + 3y = - 45\) hay \( - 30y - 126 + 3y = - 45\), suy ra \( - 27y = 81\) nên \(y = - 3\).

Thay \(y = - 3\) vào phương trình (3b), ta được:

\(x = 5 \cdot \left( { - 3} \right) + 21 = - 15 + 21 = 6.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {6; - 3} \right)\).

c) \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4x + 5y = 8\,\,\,\,\left( {1c} \right)}\\{2x - y = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {2c} \right)}\end{array}} \right.\]

Từ phương trình (2c), ta có: \(y = 2x - 2.\,\,\,\left( {3c} \right)\)

Thế \(y = 2x - 2\) vào phương trình (1c), ta được:

\( - 4x + 5\left( {2x - 2} \right) = 8\) hay \( - 4x + 10x - 10 = 8\), suy ra \(6x = 18\) nên \(x = 3\).

Thay \(x = 3\) vào phương trình (3c), ta được:

\(y = 2 \cdot 3 - 2 = 4\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {3;4} \right)\).

 d) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 4y = - 6\,\,\,\,\,\left( {1d} \right)}\\{x - 4y = 14\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {2d} \right)}\end{array}} \right.\)

Từ phương trình (2d), ta có: \(x = 4y + 14.\,\,\,\,\left( {3d} \right)\)

Thế \(x = 4y + 14\) vào phương trình (1d), ta được:

\(3\left( {4y + 14} \right) + 4y = - 6\) hay \(12y + 42 + 4y = - 6\), suy ra \(16y = - 48\) nên \(y = - 3\).

Thay \(y = - 3\) vào phương trình (3d), ta được:

\(x = 4 \cdot \left( { - 3} \right) + 14 = - 12 + 14 = 2.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {2; - 3} \right)\).

a) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 5y = 16\\ - x + 3y = - 10\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: \( - 2y = 6\). Suy ra \(y = - 3\).

Thay \(y = - 3\) vào phương trình \( - x + 3y = - 10\), ta được:

\( - x + 3 \cdot \left( { - 3} \right) = - 10\) hay \( - x - 9 = - 10,\) do đó \(x = 1\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {1; - 3} \right).\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l} - x + 3y = - 10\\2x + 3y = - 1\end{array} \right.\)       

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được:

\( - 3x = - 9\). Suy ra \(x = 3\).

Thay \(x = 3\) vào phương trình \(2x + 3y = - 1\), ta được:

\(2 \cdot 3 + 3y = - 1\) hay \(6 + 3y = - 1\), suy ra \(3y = - 7\), do đó \(y = \frac{{ - 7}}{3}\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {3;\,\,\frac{{ - 7}}{3}} \right).\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\4x + 3y = 2\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 4, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 4y = 0\\4x + 3y = 2.\end{array} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được:

\(y = - 2.\)

Thay \(y = - 2\) vào phương trình \(x + y = 0,\) ta được:

\(x + \left( { - 2} \right) = 0,\) do đó \(x = 2\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {2;\,\, - 2} \right).\)

d) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = - 2\\ - 6x + 4y = 4.\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}6x - 4y = - 4\\ - 6x + 4y = 4.\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: \(0x + 0y = 0\) hay \(0x = 0.\)

Phương trình trên vô số nghiệm \(x \in \mathbb{R}.\)

Từ phương trình \(3x - 2y = - 2,\) ta có \(2y = 3x + 2\) hay \(y = \frac{3}{2}x + 1.\)

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm, nghiệm tổng quát của hệ phương trình là: \(\left( {x;\,\,\frac{3}{2}x + 1} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý.

e) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 6y = 5\\x - 3y = 2.\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 6y = 5\\2x - 6y = 4.\end{array} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được:

\(0x + 0y = 1\) hay \(0x = 1\).

Phương trình trên vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

f) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}x + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2}}\\{\frac{2}{3}x - \frac{3}{4}y = - 1}\end{array}} \right.\)         

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 3, ta được :\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}x + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2}}\\{2x - \frac{9}{4}y = - 3.}\end{array}} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được:

\(\frac{5}{2}x = - \frac{5}{2}.\) Suy ra \(x = - 1.\)

Thay \(x = - 1\) vào phương trình\(\frac{1}{2}x + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2}\), ta được :

\(\frac{1}{2} \cdot \left( { - 1} \right) + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2}\) hay \( - \frac{1}{2} + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2},\) suy ra \(\frac{9}{4}y = 1,\) do đó \(y = \frac{4}{9}.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( { - 1;\,\,\frac{4}{9}} \right).\)