Cho \[\;\Delta ABC\]có \(BC = 15cm\), \(\widehat {ABC} = 42^\circ \) và \(\widehat {ACB} = 30^\circ \). Gọi \(H\) là chân đường cao hạ từ

đỉnh \(A\) xuống \(BC\). Hãy tính

a) Độ dài đoạn thẳng \(AH\)

b) Độ dài đoạn thẳng \(AC\)

a) Do tam giác \[ABC\]vuông tại \(A\) nên \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4\;{\rm{cm}}\). Ta có \(\sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{5} \Rightarrow \widehat C \approx 36^\circ 52' \Rightarrow \widehat B = 90^\circ  - \widehat C \approx 53^\circ 48'\).

b) Vì \(BD \bot BC\) nên \(\widehat {CBD} = 90^\circ \). Xét tam giác \[ABD\]vuông tại \(A\) có \(AB = 3\;{\rm{cm}}\), do vậy

\(\begin{array}{*{20}{l}}{A{B^2} = AD\cdotAC \Rightarrow AD = \frac{9}{4} = 2,25\;{\rm{cm}}}\\{B{D^2} = DA\cdotDC = 2,25\left( {2,25 + 4} \right) = 14,0625 \Rightarrow BD = 3,75\;{\rm{cm}}}\end{array}\)

Kẻ đường cao \(AH\).

Ta eó \(HB = HC = (HM + MB) = (MC = HM) = 2HM\)

Đặt \(AH = h,{\rm{ }}\widehat {AMH} = \alpha \). Ta có

\(HB = HC = 2HM\)

\( \Rightarrow h\cot 40^\circ  = h\cot 60^\circ  = 2h\cot \alpha \)

\( \Rightarrow \cot \alpha  = \frac{{\cot 20^\circ  - \cot 60^\circ }}{2} \approx \frac{{1,1918 - 0,5\pi 4}}{2} \approx 0,3072\)

\( \Rightarrow \quad \alpha  \approx 73^\circ .\)