Chứng minh: \[\left( {7 + {7^2} + {7^3} + {7^4} + ... + {7^{48}} + {7^{49}} + {7^{50}} + {7^{51}}} \right)\] chia hết cho 399.

\[7 + {7^2} + {7^3} + {7^4} + ... + {7^{48}} + {7^{49}} + {7^{50}} + {7^{51}}\]

\[ = 7\left( {1 + 7 + {7^2}} \right) + {7^4}\left( {1 + 7 + {7^2}\;} \right) + ... + {7^{49}}\left( {1 + 7 + {7^2}} \right)\]

\[ = \left( {1 + 7 + {7^2}} \right)\left( {7 + {7^4} + ... + {7^{49}}} \right)\]

\[ = 57\left( {7 + {7^4} + ... + {7^{49}}} \right)\]

Ta có: \[57\left( {7 + {7^4} + ... + {7^{49}}} \right)\,\, \vdots \,\,57\]
và \[57\left( {7 + {7^4} + ... + {7^{49}}} \right)\,\, \vdots \,\,7\]

Nên \[57\left( {7 + {7^4} + ... + {7^{49}}} \right)\,\, \vdots \,\,57 \cdot 7\] (vì 57 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau)