Đại hội Thể thao Đông Nam Á – SEA Games (South East Asian Games) là sự kiện thể thao được tổ chức 2 năm 1 lần với sự tham gia của các vận động viên trong khu vực Đông Nam Á. Việt Nam là đội chủ nhà của SEA Games 31 diễn ra từ ngày 12/5/2022 đến ngày 23/5/2022. Ở môn bóng đá nam, một bảng đấu có 5 đội A, B, C, D, E thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt (mỗi đội thi đấu đúng một trận với các đội còn lại). Trong mỗi trận đấu, đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua được 0 điểm. Khi kết thúc bảng đấu, các đội A, B, C, D, E lần lượt có điểm số là \(10\,;\,\,9\,;\,\,6\,;\,\,4\,;\,\,0.\) Hỏi có bao nhiêu trận hòa và cho biết đó là trận hòa giữa các đội nào (nếu có)?

 

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \[OC\] là tia phân giác \[\widehat {AOM}\], \[OD\] là tia phân giác góc \[\widehat {BOM}\], mà \[\widehat {AOM}\] và \[\widehat {BOM}\] là hai góc kề bù nên \[\widehat {COD} = 90^\circ \].

Suy ra tam giác \[COD\] vuông tại \[O\] có \[OM \bot CD\] (\[OM\] là tiếp tuyến).

Xét \[\Delta MOC\] và \[\Delta MDO\], có:

\[\widehat {COM} = \widehat {MOD} = 90^\circ \] (gt) và \[\widehat {MCO} = \widehat {MOD}\] (cùng phụ với \[\widehat {COM}\])

Do đó, (g-g)

Suy ra \[\frac{{MO}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MO}}\], suy ra \[O{M^2} = CM.DM\].

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \[AC = CM\] và \[BD = MD\].

Do đó, \[O{M^2} = CM.DM = AC.BD\] suy ra \[{R^2} = AC.BD\]. (1)

Mà ta có: \[AB = 2R\] suy ra \[A{B^2} = 4{R^2}\] nên \[{R^2} = \frac{{A{B^2}}}{4}.\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[AC.BD = \frac{{A{B^2}}}{4}\] (đpcm).

b) Ta có: \[\widehat {COD} = 90^\circ \] nên \[OC \bot OD\]. (3)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau có \[DB = DM\], lại có \[OM = OB = R\].

Suy ra \[OD\] là đường trung trực của \[BM\] suy ra \[BM \bot OD\]. (4)

Từ (3) và (4) suy ra \[OC\parallel BM\] (cùng vuông góc với \[OD\]).

Gọi \[I\] là trung điểm của \[CD\] ta có \[I\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[OCD\] đường kính \[CD\].

Theo tính chất tiếp tuyến ta có \[AC \bot AB\], \[BD \bot AB\] nên \[AC\parallel BD\] nên tứ giác \[ACDB\] là hình thang vuông.

Mà \[I\] là trung điểm \[CD\]; \[O\] là trung điểm \[AB\], suy ra \[IO\] là đường trung bình của hình thang \[ACDB\] nên \[OI\parallel AC\].

Mà \[AC \bot AB\] nên \[OI \bot AB\] tại \[O\].

Suy ra \[AB\] là tiếp tuyến tại \[O\] của đường tròn đường kính \[CD.\]

Ta có: \[AC\parallel BD\] suy ra \[\frac{{CN}}{{BN}} = \frac{{AC}}{{BD}}\] mà \[CA = CM\]; \[BD = DM\] nên \[\frac{{CN}}{{BN}} = \frac{{CM}}{{DM}}\].

Suy ra \[MN\parallel BD\] mà \[BD \bot AB\] suy ra \[MN \bot AB.\]

c) Ta có: \[AM = AO = OM = R\] suy ra \[\Delta OAM\] đều.

Do đó, \[\widehat {AOM} = 60^\circ \].

Mà, ta có: \[\widehat {AOM} + \widehat {MOB} = 180^\circ \], suy ra \[\widehat {MOB} = 180^\circ - \widehat {AOM} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \].

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \[OM,OB\] và cung nhỏ \[MB\] là

\[S = \frac{{n\pi {R^2}}}{{360}} = \frac{{120\pi {R^2}}}{{360}} = \frac{{\pi {R^2}}}{3}.\]

d) Ta có: \[AC = CM\] (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

           \[OA = OM = R\]

Do đó \[OC\] là đường trung trực của \[AM\], suy ra \[OC \bot AM\].

Mà \[OD\] là đường trung trực của \[BM\], suy ra \[BM \bot OD\] (chứng minh phần b).

Xét tứ giác \[MEOF\] có: \[\widehat {EOF} = 90^\circ ;\widehat {MEO} = 90^\circ ;\widehat {MFO} = 90^\circ \].

Suy ra tứ giác \[MEOF\] là hình chữ nhật.

Mà \[K\] là trung điểm của \[EF\].

Suy ra \[K\] là trung điểm của \[OM\](tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật).

Do đó, \[KM = KO = \frac{1}{2}MO = \frac{1}{2}R\].

Vậy \[M\] di chuyển trên \[\left( O \right)\] thì trung điểm \[K\] của \[EF\] di chuyển trên đường tròn tâm \[O\], bán kính \[\frac{1}{2}R\].

Đặt \[DH = x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\], \[x > 0\].

– Xét \[\Delta DHA\] vuông tại \[H\] có: \[\tan \widehat {DAH} = \frac{{DH}}{{HA}}\] nên \[HA = \frac{{DH}}{{\tan \widehat {DAH}}}\].

– Xét \[\Delta DHB\] vuông tại \[H\] có: \[\tan \widehat {DBH} = \frac{{DH}}{{HB}}\] nên \[HB = \frac{{DH}}{{\tan \widehat {DBH}}}.\]

Ta có: \[HB - HA = AB\] suy ra \[\frac{{DH}}{{\tan \widehat {DBH}}} - \frac{{DH}}{{\tan \widehat {DAH}}} = 56\]

\[x\left( {\frac{1}{{\tan 11^\circ }} - \frac{1}{{\tan 15^\circ }}} \right) = 56\]

\[x = \frac{{56}}{{\frac{1}{{\tan 11^\circ }} - \frac{1}{{\tan 15^\circ }}}} \approx 39,65\].

Khi đó \[CD = CH + DH \approx 1,5 + 39,65 \approx 41,15\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].

Vậy chiều cao cột cờ Hà Nội khoảng \[41,15\] m.