Một hình vuông \({C_1}\) cạnh bằng \(8\). Chia mỗi cạnh hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để được hình vuông \({C_2}\) (như hình vẽ bên dưới). Tiếp tục như thế ta được dãy các hình vuông \({C_1},{C_2},...,{C_n},...\) Giả sử cách dựng trên có thể tiến ra vô hạn. Gọi \({S_i}\) là diện tích của các hình vuông \({C_i}(i = 1,2,...)\). Tính tổng diện tích \(S\) của tất cả các hình vuông \({C_1},{C_2},...,{C_n},...\)

Lời giải

Do \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R}\)

Có \(f\left( 1 \right) = a + b + c;\,f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{9}a + \frac{1}{3}b + c \Rightarrow f\left( 1 \right) + 9f\left( {\frac{1}{3}} \right) = 2\left( {a + 2b + 5c} \right) = 0\)

\( \Rightarrow f\left( 1 \right)\) và \(f\left( {\frac{1}{3}} \right)\) trái dấu hoặc \(f\left( 1 \right) = f\left( {\frac{1}{3}} \right) = 0\).

Nếu \(f\left( 1 \right) = f\left( {\frac{1}{3}} \right) = 0\) thì phương trình có 2 nghiệm \(x = 1;x = \frac{1}{3}\).

Nếu \(f\left( 1 \right)\) và \(f\left( {\frac{1}{3}} \right)\) trái dấu tức là \(f\left( 1 \right).f\left( {\frac{1}{3}} \right) < 0\) thì phương trình có ít nhất 1 nghiệm trong

khoảng \(\left( {\frac{1}{3};1} \right)\).

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm thực.

Lời giải

Gọi \[{u_n}\] là số tiền ông H thu về sau khi cho thuê sau \[n\]năm.

Năm đầu tiên, ông H thu về: \[{u_1} = 60\].

Năm thứ hai, ông H thu về: \[{u_2} = {u_1}\left( {1 + 5\% } \right) = 1,05{u_1}\].

……

Năm thứ \[n\], ông H thu về \[{u_n} = {u_{n - 1}}\left( {1 + 5\% } \right) = 1,05{u_{n - 1}}\].

Nên \[{u_n}\] là cấp số nhân với \[{u_1} = 60;\,\,q = 1,05\].

Sau 5 năm, tổng số tiền ông H thu về từ cho thuê căn hộ đó là:

\[{S_5} = {u_1}.\frac{{{q^5} - 1}}{{q - 1}} = 60.\frac{{{{1,05}^5} - 1}}{{1,05 - 1}} = 331,537875\] (triệu đồng).