Cho tam giác vuông cân \(OBM\) tại \(O\) có \(OB = OM = 1\). Lấy \({B_1},\,{A_1},\,{M_1}\) lần lượt là trung điểm của các các cạnh \(OB,\,OM,\,MB\) rồi tô màu tam giác \({A_1}{M_1}M\). Lấy \({B_2},\,{A_2},\,{M_2}\) lần lượt là trung điểm các cạnh \({B_1}B,\,{B_1}{M_1},\,{M_1}B\) rồi tô màu tam giác \({A_2}{M_2}{M_1}\). Tiếp tục quá trình đó ta được một dãy các tam giác được tô màu (tham khảo hình vẽ bên dưới). Tính tổng diện tích các hình tam giác được tô màu.

Lời giải

* Ta có \[M,O\] lần lượt là trung điểm của \[SA,AC\] nên \[OM\] là đường trung bình của tam giác \[SAC\] ứng với cạnh \[SC\]do đó \[OM{\rm{//}}SC\].

Vậy \[\left\{ \begin{array}{l}OM{\rm{//}}SC\\SC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OM{\rm{//}}\left( {SBC} \right){\rm{ }}\left( 1 \right)\].

* Tương tự, Ta có \[N,O\] lần lượt là trung điểm của \[SD,BD\] nên \[ON\] là đường trung bình của tam giác \[SBD\] ứng với cạnh \[SB\]do đó \[OM//SB\].

Vậy \[\left\{ \begin{array}{l}ON{\rm{//}}SB\\SB \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OM{\rm{//}}\left( {SBC} \right){\rm{ }}\left( 2 \right)\]

* Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có \[\left\{ \begin{array}{l}OM{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\\ON{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\\OM \cap ON = O\end{array} \right. \Rightarrow \left( {OMN} \right){\rm{//}}\left( {SBC} \right)\].

Lời giải

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\\I \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) là \(SI\).

b) Ta có \(IM\) là đường trung bình của tam giác \(SBD\), suy ra \(IM//SD\).

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}IM \not\subset \left( {SAD} \right)\\IM//SD\\SD \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow IM//\left( {SAD} \right)\)

c) Gọi \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBN} \right)\) gọi \(K = MG \cap BN\), suy ra \(N\) là trung điểm \(BK\).

Suy ra \(\Delta ABN = \Delta DKN \Rightarrow \widehat {BAN} = \widehat {KDN} \Rightarrow AB//DK;AB = DKACK\)\[\]. Do đó \(K,D,C\) thẳng hàng và \(D\) là trung điểm \(KC\).

Gọi \(Q = AD \cap IK\), tam giác  có hai trung tuyến \(AD,KI\) cắt nhau tại \(Q\) nên \(Q\) là trọng tâm của tam giác \(ACK\), suy ra \(AQ = \frac{2}{3}AD\). Vậy \[\frac{{QD}}{{QA}} = \frac{1}{2}\].