Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình thang với $AB\;{\rm{//}}\;CD$ và $AB = 2CD$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\;BC$.

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $\left( {SMN} \right)$ và mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$.

b) Gọi $E$ và $G$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAB$ và $SBC$. Chứng minh $EG\;{\rm{//}}\;\left( {ABCD} \right)$.

c) Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua đường thẳng $EG$ và song song với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. Xác định giao điểm của $\left( \alpha \right)$ với đường thẳng $SD$ (gọi là điểm $K$) và tính diện tích tam giác $EGK$, biết rằng diện tích hình thang $ABCD$ bằng $27$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $\left( {SMN} \right)$ và mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$

Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ có $AB\;{\rm{//}}\;CD$ và $MN$ cắt $AB$ nên đường thẳng $MN$ cắt đường thẳng $CD$ tại $I$. $I$ và $S$ là các điểm chung của mặt phẳng $\left( {SMN} \right)$ và mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$.Suy ra giao tuyến của mặt phẳng $\left( {SMN} \right)$ và mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ là đường thẳng $SI$.

b) Gọi $E$ và $G$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAB$ và $SBC$. Chứng minh $EG\;{\rm{//}}\;\left( {ABCD} \right)$.

$E$ và $G$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAB$ và $SBC$ nên $E \in SM,$ $G \in SN$ và $\frac{{SE}}{{SM}} = \frac{2}{3};\;\frac{{SG}}{{SN}} = \frac{2}{3}.$Tam giác $SMN$ có $\frac{{SE}}{{SM}} = \frac{{SG}}{{SN}}$ nên $EG\;{\rm{//}}\;MN$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}EG \not\subset \left( {ABCD} \right)\\EG\;{\rm{//}}\;MN\\MN \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow EG\;{\rm{//}}\;\left( {ABCD} \right).$

c) Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua đường thẳng $EG$ và song song với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. Xác định giao điểm của $\left( \alpha \right)$ với đường thẳng $SD$ (gọi là điểm $K$) và tính diện tích tam giác $EGK$, biết rằng diện tích hình thang $ABCD$ bẳng $27$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right)\;{\rm{//}}\;\left( {ABCD} \right)\\\left( {SMD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MD\\E \in \left( {SMD} \right) \cap \left( \alpha \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SMD} \right) \cap \left( \alpha \right) = Ex$, với $Ex\;{\rm{//}}\;MD$, $Ex\; \cap SD = K$. Như vậy, $K = \left( \alpha \right) \cap SD$.

Tam giác $SMD$ có $EK\;{\rm{//}}\;MD$ nên $\frac{{SK}}{{SD}} = \frac{{KE}}{{MD}} = \frac{{SE}}{{SM}} = \frac{2}{3}$. Tương tự $\frac{{KG}}{{DN}} = \frac{2}{3}$, $\frac{{EG}}{{MN}} = \frac{2}{3}$.

Suy ra tam giác $EGK$ đồng dạng với tam giác $MND$ theo tỉ số $\frac{2}{3}$. Suy ra $\frac{S_{△ E G K}}{S_{△ M N D}} = \frac{4}{9}$ .

Mà $S_{△ M N D} = \frac{1}{2} S_{△ B M D C} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} S_{△ A B C D} = \frac{1}{3} S_{△ A B C D} .$

Nên $S_{△ E G K} = \frac{4}{27} S_{△ A B C D} = 4$ .

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành tâm \[O\], gọi \[M,N\] lần lượt là trung điểm của \[SA,SD\]. Chứng minh \[\left( {OMN} \right)//\left( {SBC} \right)\].

Lời giải

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA,SD. Chứng minh (OMN) song song (SBC) (ảnh 1)

* Ta có \[M,O\] lần lượt là trung điểm của \[SA,AC\] nên \[OM\] là đường trung bình của tam giác \[SAC\] ứng với cạnh \[SC\]do đó \[OM{\rm{//}}SC\].

Vậy \[\left\{ \begin{array}{l}OM{\rm{//}}SC\\SC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OM{\rm{//}}\left( {SBC} \right){\rm{ }}\left( 1 \right)\].

* Tương tự, Ta có \[N,O\] lần lượt là trung điểm của \[SD,BD\] nên \[ON\] là đường trung bình của tam giác \[SBD\] ứng với cạnh \[SB\]do đó \[OM//SB\].

Vậy \[\left\{ \begin{array}{l}ON{\rm{//}}SB\\SB \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OM{\rm{//}}\left( {SBC} \right){\rm{ }}\left( 2 \right)\]

* Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có \[\left\{ \begin{array}{l}OM{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\\ON{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\\OM \cap ON = O\end{array} \right. \Rightarrow \left( {OMN} \right){\rm{//}}\left( {SBC} \right)\].

Câu 2

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $I$. Gọi $M$ là trung điểm của $SB$, $G$ là trọng tâm tam giác $SAD$.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$.

b) Chứng minh $IM$// $\left( {SAD} \right)$.

c) Gọi $Q$ là giao điểm của đường thẳng $DA$ và mặt phẳng $\left( {IMG} \right)$. Tính tỉ số \[\frac{{QD}}{{QA}}\].

Lời giải

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm I. Gọi M là trung điểm của SB, G là trọng tâm tam giác SAD. a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) (ảnh 1)

a) Ta có $\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\\I \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\end{array} \right.$

Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$ là $SI$.

b) Ta có $IM$ là đường trung bình của tam giác $SBD$, suy ra $IM//SD$.

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}IM \not\subset \left( {SAD} \right)\\IM//SD\\SD \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow IM//\left( {SAD} \right)$

c) Gọi $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$.

Trong mặt phẳng $\left( {SBN} \right)$ gọi $K = MG \cap BN$, suy ra $N$ là trung điểm $BK$.

Suy ra $\Delta ABN = \Delta DKN \Rightarrow \widehat {BAN} = \widehat {KDN} \Rightarrow AB//DK;AB = DKACK$\[\]. Do đó $K,D,C$ thẳng hàng và $D$ là trung điểm $KC$.

Gọi $Q = AD \cap IK$, tam giác có hai trung tuyến $AD,KI$ cắt nhau tại $Q$ nên $Q$ là trọng tâm của tam giác $ACK$, suy ra $AQ = \frac{2}{3}AD$. Vậy \[\frac{{QD}}{{QA}} = \frac{1}{2}\].

Câu 3