Trong hộp có 12 viên bi gồm 3 viên bi màu xanh, 4 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu vàng. Các viên bi có hình dạng và kích thước giống hệt nhau. Chọn ngẫu nhiên một viên bi. Xác suất của biến cố “Viên bi được chọn có màu xanh” bằng

1) Theo đề bài, cây và cột cùng vuông góc hay \(AB \bot AC\,;\,\,KD \bot DE\)

Suy ra \(\widehat {BAC} = \widehat {KDE} = 90^\circ .\)

Xét \[\Delta ABC\] và \[\Delta DKE\] có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {KDE} = 90^\circ \) (cmt); \(\widehat {BCA} = \widehat {DEK}\) (gt)

Do đó  (g.g)

Suy ra \(\frac{{AB}}{{KD}} = \frac{{AC}}{{DE}}\), thay số ta có \(\frac{{AB}}{2} = \frac{{10,5}}{{1,5}}\) nên \(AB = \frac{{2 \cdot 10,5}}{{1,5}} = 14\,\,{\rm{(m)}}\).

Vậy chiều cao của cây là 14 mét.

Cho tam giác ABC nhọn có \[\widehat {BAC} = 65^\circ \], AK và BH là các đường cao (K thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh AC).

a) Chứng minh và \[CH \cdot CA = CK \cdot CB.\] 

b) Chứng minh và tính số đo của góc CKH.

c) Kẻ đường phân giác của góc ACB cắt KH tại D và cắt \[AB\] tại I. Chứng minh rằng: \[DH \cdot IA = DK \cdot IB.\]

 a) Chứng minh  (g.g)

Suy ra \[\frac{{CK}}{{CH}} = \frac{{CA}}{{CB}}\], do đó \[CK \cdot CB = CH \cdot CA\].

 b) Ta có \[CK \cdot CB = CH \cdot CA\] (câu a) suy ra \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{CA}}\).

Chứng minh  (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {CKH} = \widehat {BAC} = 65^\circ \).

 c) Áp dụng tính chất đường phân giác trong \(\Delta CHK\), ta có

\(\frac{{DK}}{{DH}} = \frac{{CK}}{{CH}}\) và \(\frac{{IA}}{{IB}} = \frac{{AC}}{{CB}}\).

Mà \(\frac{{CK}}{{CH}} = \frac{{CA}}{{CB}}\) (câu a) suy ra \(\frac{{DK}}{{DH}} = \frac{{IA}}{{IB}}\,.\) Do đó \[DH \cdot IA = DK \cdot IB.\]

Gọi x (giờ) là thời gian người thứ hai đi đến khi gặp người thứ nhất \[\left( {x > 0} \right)\]

Quãng đường người thứ hai đã đi đến khi gặp người thứ nhất là 56x (km)

Thời gian người thứ nhất đi đến khi gặp người thứ hai là \[x + 1\] (giờ).

Quãng đường người thứ nhất đã đi đến khi gặp người thứ hai là \[42\left( {x + 1} \right)\](km)

Quãng đường hai người đi bằng nhau nên ta có phương trình

\[56x = 42\left( {x + 1} \right)\]

\[56x = 42x + 42\]

\[14x = 42\]

\[x = 3\] (TMĐK)

Vậy hai người gặp nhau lúc \[7 + 1 + 3 = 11\] (giờ).

Điểm gặp nhau cách A là \[56 \cdot 3{\rm{ }} = 168{\rm{ (km}}).\]