1) Để đo chiều cao một cái cây một nhóm bạn lớp 8 đã cắm một chiếc cọc KD trên mặt đất và tiến hành đồ đạc. Biết rằng tại một thời điểm trong ngày, cọc thẳng đứng KD cao 2 m đổ bóng là đoạn thẳng DE dài 1,5 m trên mặt đất thì nhóm đo được cây AB đổ bóng là đoạn thẳng AC dài 10,5 m (xem hình vẽ). Biết các \(\widehat {BCA}\) và \(\widehat {DEK}\) (mô tả cho góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất) là bằng nhau, cây và cột cùng vuông góc mặt đất. Tính chiều cao của cây. (Học sinh không cần vẽ lại hình)

2) Cho tam giác ABC nhọn có \[\widehat {BAC} = 65^\circ \], AK và BH là các đường cao (K thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh AC).

a) Chứng minh  và \[CH \cdot CA = CK \cdot CB.\]

b) Chứng minh  và tính số đo của góc CKH.

c) Kẻ đường phân giác của góc ACB cắt KH tại D và cắt \[AB\] tại I. Chứng minh rằng: \[DH \cdot IA = DK \cdot IB.\]

1) Theo đề bài, cây và cột cùng vuông góc hay \(AB \bot AC\,;\,\,KD \bot DE\)

Suy ra \(\widehat {BAC} = \widehat {KDE} = 90^\circ .\)

Xét \[\Delta ABC\] và \[\Delta DKE\] có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {KDE} = 90^\circ \) (cmt); \(\widehat {BCA} = \widehat {DEK}\) (gt)

Do đó  (g.g)

Suy ra \(\frac{{AB}}{{KD}} = \frac{{AC}}{{DE}}\), thay số ta có \(\frac{{AB}}{2} = \frac{{10,5}}{{1,5}}\) nên \(AB = \frac{{2 \cdot 10,5}}{{1,5}} = 14\,\,{\rm{(m)}}\).

Vậy chiều cao của cây là 14 mét.

Cho tam giác ABC nhọn có \[\widehat {BAC} = 65^\circ \], AK và BH là các đường cao (K thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh AC).

a) Chứng minh và \[CH \cdot CA = CK \cdot CB.\] 

b) Chứng minh và tính số đo của góc CKH.

c) Kẻ đường phân giác của góc ACB cắt KH tại D và cắt \[AB\] tại I. Chứng minh rằng: \[DH \cdot IA = DK \cdot IB.\]

 a) Chứng minh  (g.g)

Suy ra \[\frac{{CK}}{{CH}} = \frac{{CA}}{{CB}}\], do đó \[CK \cdot CB = CH \cdot CA\].

 b) Ta có \[CK \cdot CB = CH \cdot CA\] (câu a) suy ra \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{CA}}\).

Chứng minh  (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {CKH} = \widehat {BAC} = 65^\circ \).

 c) Áp dụng tính chất đường phân giác trong \(\Delta CHK\), ta có

\(\frac{{DK}}{{DH}} = \frac{{CK}}{{CH}}\) và \(\frac{{IA}}{{IB}} = \frac{{AC}}{{CB}}\).

Mà \(\frac{{CK}}{{CH}} = \frac{{CA}}{{CB}}\) (câu a) suy ra \(\frac{{DK}}{{DH}} = \frac{{IA}}{{IB}}\,.\) Do đó \[DH \cdot IA = DK \cdot IB.\]