Nếu một doanh nghiệp sản xuất \(x\)sản phẩm trong một tháng \(\left( {x \in \mathbb{N};1 \le x \le 300} \right)\) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm là \(F\left( x \right) = {x^3} - 1999{x^2} + 1001000x + 250000\) (đồng). Trong đó, chi phí vận hành máy móc bình quân cho mỗi sản phẩm khi sản xuất \(x\)sản phẩm là \(G\left( x \right) = 300 + \frac{{100}}{x}\) (nghìn đồng), chi phí mua nguyên vật liệu để sản xuất \(x\)sản phẩm là \(H\left( x \right) = 2{x^3} + 100000x - 50000\) (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Đáp án: ____

Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm\[I\left( {1;0;--1} \right)\], bán kính \(R = 2\).

Ta có \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}}\) nên \({V_{ABCD}}\)lớn nhất khi và chỉ khi \(d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right)\) lớn nhất.

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua điểm \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Suy ra \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 2t\\z =  - 1 + t\end{array} \right.\).

Gọi \({D_1};{D_2}\) là các giao điểm của \(\Delta \) và mặt cầu \(\left( S \right)\).

Tọa độ điểm \({D_1};{D_2}\) thỏa mãn hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{y =  - 2t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{z =  - 1 + t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2z - 2 = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{2}{3}}\\{t = \frac{{ - 2}}{3}}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow {D_1}\left( {\frac{7}{3};\frac{{ - 4}}{3};\frac{{ - 1}}{3}} \right)\,;{D_2}\left( {\frac{{ - 1}}{3};\frac{4}{3};\frac{{ - 5}}{3}} \right)\)

Ta thấy: \(d\left( {{D_1},\left( {ABC} \right)} \right) > d\left( {{D_2},\left( {ABC} \right)} \right)\). Vậy điểm \(D\left( {\frac{7}{3}; - \frac{4}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\) \( \Rightarrow a + b + c = \frac{2}{3} \approx 0,67\).

Đáp án cần nhập là: 0,67.

Dựa vào bảng xét dấu, ta có hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

2. Sai. Dựa vào bảng xét dấu, ta có hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 1 điểm cực trị.

3. Đúng. Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{2x + 1}}{{f'\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)}} = 0\) nên hàm số \(y = h\left( x \right)\) có 1 tiệm cận ngang.

Lại có \(f'\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm. Do đó hàm số \(y = h\left( x \right)\) có 2 tiệm cận đứng.

Vậy hàm số \(y = h\left( x \right)\) có tất cả 3 đường tiệm cận.

4. Sai.

Ta có \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - x + 1\);

Có \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x - 1\) (1).

Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = x - 1\).

Dựa vào đồ thị hàm số trên ta có \(x =  - 3;x =  - 1;x = 1\) là 3 nghiệm của phương trình (1).

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\) như sau

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\), ta thấy để đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{1}{2}{x^2} + x + 2025\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi \(\max \left\{ {g\left( { - 3} \right);g\left( 1 \right)} \right\} < m < g\left( { - 1} \right)\).

5. Đúng. Ta có \(k'\left( x \right) = \left( {2x - 2} \right)f'\left( {{x^2} - 2x} \right)\).

Có \(k'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 2 = 0\\f'\left( {{x^2} - 2x} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2x =  - 2\\{x^2} - 2x = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 1 + \sqrt 2 \\x = 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.\).

Bảng xét dấu của \(k'\left( x \right)\)

Dựa vào bảng xét dấu của \(k'\left( x \right)\), ta có hàm số \(y = k\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị. Chọn ý 3, 5.