Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(A\left( {0;1;1} \right),B\left( {1;0; - 3} \right),C\left( { - 1; - 2; - 3} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2z - 2 = 0\). Biết rằng \(D\left( {a;b;c} \right)\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho thể tích tứ diện \(ABCD\) lớn nhất. Tính \(a + b + c\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: _____

1. Sai. Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}}  = \sqrt 3 \).

2. Đúng. Thay tọa độ điểm \(A,B\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta có \(\left| \begin{array}{l}1 - 2 - 1 - 2 =  - 4\\2 - 3 + 0 - 2 =  - 3\end{array} \right.\).

Suy ra \(A,B\)nằm cùng phía đối với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

3. Sai. Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(B\)trên \(\left( P \right)\). Khi đó \(BH \bot \left( P \right)\).

Suy ra đường thẳng \(BH\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 1;1} \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng \(BH\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 - t\\z = t\end{array} \right.\).

Tọa độ điểm \(H\)là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 - t\\z = t\\x - y + z - 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 - t\\z = t\\2 + t - 3 + t + t - 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\\z = 1\\t = 1\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {3;2;1} \right)\).

Vậy hình chiếu vuông góc của \(B\) trên \(\left( P \right)\) có tung độ bằng 2.

4. Đúng. Gọi \(B'\)là điểm đối xứng với \(B\)qua mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Khi đó \(H\)là trung điểm đoạn thẳng \(BB'\). Suy ra tọa độ \(B'\left( {4;1;2} \right)\).

Khi đó \(MA + MB = MA + MB' \ge AB'\).

Suy ra \(MA + MB\) đạt giá trị nhỏ nhất khi ba điểm \(M,A,B'\) thẳng hàng.

Ta có \(\overrightarrow {AB'}  = \left( {3; - 1;3} \right) \Rightarrow AB' = \sqrt {19} \).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(MA + MB\) bằng \(\sqrt {19} \). Chọn ý 2, 4.

Lợi nhuận thu được là

\(L\left( x \right) = {x^3} - 1999{x^2} + 1001000x + 250000 - x\left( {300 + \frac{{100}}{x}} \right) \cdot 1000 - \left( {2{x^3} + 100000x - 50000} \right)\)

\( =  - {x^3} - 1999{x^2} + 601000x + 200000\).

Có \(L'\left( x \right) =  - 3{x^2} - 3998x + 601000 = 0 \Leftrightarrow x \approx 136,37\).

Bảng biến thiên

Vì số sản phẩm sản xuất được là số tự nhiên, từ bảng biến thiên ta so sánh \(L\left( {136} \right)\) và \(L\left( {137} \right)\).

Ta có \(L\left( {136} \right) = 42\;447\;040\) đồng và \(L\left( {137} \right) = 42\;446\;416\) đồng.

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất 136 sản phẩm thì lợi nhuận là lớn nhất.

Đáp án cần nhập là: 136.