Thống kê điểm trung bình môn Toán của một số học sinh lớp 12 được mẫu số liệu sau:

Khoảng điểm	\(\left[ {6,5;\,7} \right)\)	\(\left[ {7;\,7,5} \right)\)	\(\left[ {7,5;\,8} \right)\)	\(\left[ {8;\,8,5} \right)\)	\(\left[ {8,5;\,9} \right)\)	\(\left[ {9;\,9,5} \right)\)	\(\left[ {9,5;\,10} \right)\)
Tần số	\(8\)	\(10\)	\(16\)	\(24\)	\(13\)	\(7\)	\(4\)

Phương sai của mẫu số liệu về điểm trung bình môn Toán của các học sinh đó là

Hai bạn cùng chơi trò chơi như sau, bạn thứ nhất bỏ vào hộp 2 viên bi thì bạn thứ hai sẽ bỏ vào số bi gấp đôi số bi của người kia đồng thời lấy ra khỏi hộp 1 viên, cuộc chơi dừng lại nếu số bi trong hộp lớn hơn 2000 viên. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu lần chơi thì dừng cuộc chơi?

Đáp án: ___

Có hai chiếc hộp, hộp I có 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng vàng, hộp II có 4 quả bóng đỏ và 6 quả bóng vàng, các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I rồi chuyển (bỏ) vào hộp II. Sau đó, lấy ra ngẫu nhiên hai quả bóng từ hộp II. Biết rằng trong hai quả bóng lấy ra từ hộp II có ít nhất một quả màu đỏ. Tính xác suất để quả bóng được chuyển từ hộp I sang là quả bóng màu đỏ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: _____

Một doanh  nghiệp dự định sản xuất không quá 400 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất \(x\) sản phẩm \(\left( {1 \le x \le 400} \right)\) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là \(F\left( x \right) = {x^3} - 1999{x^2} + 1001000x + 250000\) (đồng). Trong đó chi phí vận hành máy móc cho mỗi sản phẩm là \(G\left( x \right) = \frac{{100000x}}{{\frac{3}{2}x + 1}}\) (đồng). Tổng chi phí mua nguyên vật liệu là \(H\left( x \right) = 2{x^3} + 100000x - 50000\) (đồng) nhưng do doanh nghiệp đó mua nguyên vật liệu với số lượng lớn nên được giảm \(1\% \) cho 200 sản phẩm đầu tiên doanh nghiệp sản xuất và giảm \(2\% \) cho sản phẩm tiếp theo. Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Đáp án: ____

Một ứng dụng mạng xã hội mới ra mắt, số lượng người dùng đăng kí tuân theo quy luật và được cho bởi hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{3000}}{{1 + 3{e^{ - t}}}},t \ge 0\), trong đó \(t\) tính bằng năm kể từ khi ra mắt. Khi đó \(f'\left( t \right)\) cho biết tốc độ tăng trưởng người dùng. Hỏi sau bao nhiêu năm kể từ khi ra mắt thì tốc độ tăng trưởng người dùng đạt mức cao nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Đáp án: ____

Nhiệt độ \({\theta _1}\left( {^\circ C} \right)\), của một loại lò vi sóng sau khi bật lên \(t\) phút được xác định bởi hàm số \({\theta _1} = 320 - 290{{\rm{e}}^{ - 0,05t}},\,\,t \ge 0\). Nhiệt độ \({\theta _2}\left( {^\circ C} \right)\), của một loại lò vi sóng khác sau khi bật lên \(t\) phút được xác định bởi hàm số \({\theta _2} = 270 - 240{{\rm{e}}^{ - 0,1t}},\,\,t \ge 0\). Hỏi nếu hai lò vi sóng của hai loại được bật lên cùng một lúc thì sau bao nhiêu phút nhiệt độ của hai lò vi sóng bằng nhau? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: ___

Hệ thống lọc nước bể bơi vô cùng quan trọng khi tiến hành xây dựng công trình bơi lội để nguồn nước được làm sạch thường xuyên và giữ vệ sinh cho người bơi. Trong quá trình vận hành lọc nước thì lượng nước trong bể sẽ thay đổi theo thời gian. Lượng nước trong bể giảm nếu hệ thống đang xả nước bẩn ra khỏi bể và tăng nếu hệ thống đang cấp thêm nước sạch cho bể. Biết rằng 1 gallon gần bằng \(3,785\) lít, dung tích của bể là \(1000\) gallon.

Hàm số \(f\left( t \right)\) biểu thị tốc độ thay đổi lượng nước trong bể theo thời gian \(t\) giờ, từ thời điểm \(6\) giờ sáng đến thời điểm \(6\) giờ chiều được cho bởi \(f\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}100t & \left( {0 \le t \le 3} \right)\\ - 200t + 900 & \left( {3 \le t \le 6} \right)\\100t - 900 & \left( {6 \le t \le 12} \right)\end{array} \right.\) với mốc thời gian \(t = 0\) tại thời điểm \(6\) giờ sáng. Biết lúc \(8\) giờ sáng trong bể chứa \(500\) gallon nước. Hỏi ở thời điểm \(4\) giờ chiều trong bể chứa bao nhiêu gallon nước?

Đáp án: ____