Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai vectơ \(\vec a = \left( {3m;4m - 1} \right)\) và \(\vec b = \left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\) (với \(m\) là tham số). Tìm \(m\) để góc giữa hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) bằng \(45^\circ \) (viết kết quả dưới dạng số thập phân).

Cho tam giác \(ABC\) có các đỉnh \(A\left( {1;1} \right),B\left( {2;4} \right),C\left( {10; - 2} \right)\). Tính diện tích tam giác \(ABC\).

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho \(A\left( {m - 1;2} \right),B\left( {2;5 - 2m} \right)\) và \(C\left( {m - 3;4} \right)\). Tìm giá trị m để A, B, C thẳng hàng.

Cho hình thang vuông \(ABCD\) có đường cao \(AB = 2a\), các cạnh đáy \(AD = a\) và \(BC = 3a\). Gọi \(M\) là điểm trên đoạn \(AC\) sao cho \(\overrightarrow {AM}  = k\overrightarrow {AC} \). Tìm \(k\) để \(BM \bot CD\).

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\) cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G\left( {\frac{2}{3};0} \right)\), biết \(M\left( {1; - 1} \right)\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Tọa độ đỉnh \(A\) là

Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(a.\) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} .\)

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), \(\overrightarrow a  = (5;2)\), \(\overrightarrow b  = (10;6 - 2x)\). Tìm \(x\) để \(\overrightarrow a ;\overrightarrow b \) cùng phương.

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Qua trung điểm M của AB dựng đường thẳng MO cắt CD tại N. Biết \(OA = 1,OB = 2,OC = 3\), \(OD = 4\). Tính \(\frac{{CN}}{{ND}}\).