Cho một lưới ô vuông gồm \(16\) ô vuông nhỏ, mỗi ô vuông có kích thước \(1 \times 1\) như hình vẽ. Con kiến thứ nhất ở vị trí A muốn di chuyển lên vị trí B, con kiến thứ hai ở vị trí B muốn di chuyển xuống vị trí A. Biết rằng, con kiến thứ nhất chỉ có thể di chuyển ngẫu nhiên về phía bên phải hoặc lên trên, con kiến thứ hai chỉ có thể di chuyển ngẫu nhiên về phía bên trái hoặc xuống dưới. Hai con kiến xuất phát cùng một thời điểm và cùng có vận tốc di chuyển là \(1\) mét/\(1\) phút. Xác suất để hai con kiến không gặp nhau bằng bao nhiêu?

Đáp án: 2,65.

Gọi \[I\] là trung điểm của \[BC\], do \[ABCD\] là nửa lục giác đều nên \[OI \bot AD\]Chọn hệ trục toạ độ \[{\rm{Ox}}yz\] như hình vẽ

Khi đó \[S\left( {0; - 2a;2a\sqrt 3 } \right),A\left( {0; - 2a;0} \right),B\left( {a\sqrt 3 ; - a;0} \right),C\left( {a\sqrt 3 ;a;0} \right),D\left( {0;2a;0} \right)\].

Gọi góc giữa 2 mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\] là \[b.\]

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {SA} \left( {0;0; - 2a\sqrt 3 } \right),\overrightarrow {SB} \left( {a\sqrt 3 ;a; - 2a\sqrt 3 } \right),\overrightarrow {SC} \left( {a\sqrt 3 ;3a; - 2a\sqrt 3 } \right),\overrightarrow {SD} \left( {0;4a; - 2a\sqrt 3 } \right),\\\left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} } \right] = \left( {2{a^2}\sqrt 3 ; - 6{a^2};0} \right),\left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} } \right] = \left( {2{a^2}\sqrt 3 ;6{a^2};4{a^2}\sqrt 3 } \right)\end{array}\]

Suy ra vectơ pháp tuyến của \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\] lần lượt là

\[\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - \sqrt 3 ;0} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;\sqrt 3 ;2} \right),\cos b = \frac{{\left| {1 - 3 + 0} \right|}}{{\sqrt {1 + 3 + 0} .\sqrt {1 + 3 + 4} }} = \frac{1}{{\sqrt 8 }} \Rightarrow \tan b = \sqrt {\frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}b}} - 1}  = \sqrt 7  \approx 2,65.\]

a) Đúng

Tọa độ của điểm \(A\left( {66;\, - 75;\,120} \right)\).

b) Đúng

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 64;\,76;\, - 120} \right)\).

\(AB = \sqrt {{{\left( { - 64} \right)}^2} + {{76}^2} + {{\left( { - 120} \right)}^2}}  = \sqrt {24272}  = 4\sqrt {1517} \).

Thời gian mà máy bay sẽ bay từ điểm \(A\) đến điểm \(B\) là \(\frac{{4\sqrt {1517} }}{{240}} \approx 0,65\) giờ \( \approx 39\) phút.

c) Sai

Phương trình đường đi của máy bay là: \(AB:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 64t}\\{y = 1 + 76t}\end{array}}\\{z =  - 120t}\end{array}} \right.\)

Phương trình đám mây \(\left( {MNP} \right)\) là: \(\frac{x}{{25}} + \frac{y}{{25}} + \frac{z}{{30}} = 1 \Leftrightarrow 6x + 6y + 5z - 150 = 0\).

Xét phương trình: \(6\left( {2 - 64t} \right) + 6\left( {1 + 76t} \right) + 5\left( { - 120t} \right) - 150 = 0\).

\( \Leftrightarrow 12 - 384t + 6 + 456t - 600t - 150 = 0\).

\( \Leftrightarrow  - 528t = 132\).

\( \Leftrightarrow t =  - \frac{1}{4}\).

+ Với \(t =  - \frac{1}{4}\) ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 18}\\{y =  - 18}\end{array}}\\{z = 30\,\,\,}\end{array}} \right.\)

Vậy, độ cao của máy bay khi máy bay xuyên qua đám mây là \(30\,{\rm{km}}\).

D) Đúng

Khi máy bay tiếp đất tại điểm \(B\left( {2;\,1;\,0} \right)\).

Tọa độ của máy bay sau khi di chuyển về phía Tây thêm 2 km nữa là \(C\left( {2;\,3;\,0} \right)\).

Khi đó: \(CS = \sqrt {{2^2} + {{127}^2} + {{0,1}^2}}  \approx 127 > 125\) km.

Vậy đài quan sát sẽ không nhìn thấy máy bay.