Cho hình chóp \[S.ABCD\]có đáy \[ABCD\] là nửa lục giác đều cạnh \[2a\] với \[AD = 4a\], biết rằng
\[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] và \[SA = 2a\sqrt 3 \]. Tính tan góc giữa 2 mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\] .

Đáp án: 3,46.

Chọn hệ trục như hình vẽ

Khi đó đường thẳng vì tam giác \(OAB\) cân và có góc ở đỉnh là \({60^0}\) nên nó là tam giác đều. Ta được các điểm \(A\left( {1;\sqrt 3 } \right);B\left( { - 1;\sqrt 3 } \right)\). Vì vậy phương trình các đường thẳng \(\left( {OA} \right):y = \sqrt 3 x;\left( {OB} \right):y =  - \sqrt 3 x\).

Parabol \(\left( {{C_1}} \right):y = a{x^2} + c\) tiếp xúc với các đường thẳng trên cho nên ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3  = a{.1^2} + c\\\sqrt 3  = 2a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\c = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\).

Vì vậy diện tích cần tính là \(S = 12\int\limits_0^1 {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \sqrt 3 x} \right)} dx = 3,464\).

a) Đúng

Tọa độ của điểm \(A\left( {66;\, - 75;\,120} \right)\).

b) Đúng

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 64;\,76;\, - 120} \right)\).

\(AB = \sqrt {{{\left( { - 64} \right)}^2} + {{76}^2} + {{\left( { - 120} \right)}^2}}  = \sqrt {24272}  = 4\sqrt {1517} \).

Thời gian mà máy bay sẽ bay từ điểm \(A\) đến điểm \(B\) là \(\frac{{4\sqrt {1517} }}{{240}} \approx 0,65\) giờ \( \approx 39\) phút.

c) Sai

Phương trình đường đi của máy bay là: \(AB:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 64t}\\{y = 1 + 76t}\end{array}}\\{z =  - 120t}\end{array}} \right.\)

Phương trình đám mây \(\left( {MNP} \right)\) là: \(\frac{x}{{25}} + \frac{y}{{25}} + \frac{z}{{30}} = 1 \Leftrightarrow 6x + 6y + 5z - 150 = 0\).

Xét phương trình: \(6\left( {2 - 64t} \right) + 6\left( {1 + 76t} \right) + 5\left( { - 120t} \right) - 150 = 0\).

\( \Leftrightarrow 12 - 384t + 6 + 456t - 600t - 150 = 0\).

\( \Leftrightarrow  - 528t = 132\).

\( \Leftrightarrow t =  - \frac{1}{4}\).

+ Với \(t =  - \frac{1}{4}\) ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 18}\\{y =  - 18}\end{array}}\\{z = 30\,\,\,}\end{array}} \right.\)

Vậy, độ cao của máy bay khi máy bay xuyên qua đám mây là \(30\,{\rm{km}}\).

D) Đúng

Khi máy bay tiếp đất tại điểm \(B\left( {2;\,1;\,0} \right)\).

Tọa độ của máy bay sau khi di chuyển về phía Tây thêm 2 km nữa là \(C\left( {2;\,3;\,0} \right)\).

Khi đó: \(CS = \sqrt {{2^2} + {{127}^2} + {{0,1}^2}}  \approx 127 > 125\) km.

Vậy đài quan sát sẽ không nhìn thấy máy bay.