Tại một sân bay, chọn hệ trục \(Oxyz\) có gốc tọa độ \(O\) trùng với phòng bán vé của sân bay, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất sao cho trục \(Ox\) hướng về phía nam, trục \(Oy\) hướng về phía tây, trục \(Oz\) hướng thẳng đứng. Một máy bay đang ở tại điểm \(A\) cách mặt đất \(120\,{\rm{km}}\), cách \(75\,{\rm{km}}\) về phía đông và cách \({\rm{66}}\,{\rm{km}}\)về phía nam so với phòng vé của sân bay. Biết rằng máy bay chuyển động thẳng đều với vận tốc là \(240\,{\rm{km/h}}\) sẽ hạ cách tại điểm \(B\left( {2;\,1;\,0} \right)\) trong sân bay.

Đáp án: 3,46.

Chọn hệ trục như hình vẽ

Khi đó đường thẳng vì tam giác \(OAB\) cân và có góc ở đỉnh là \({60^0}\) nên nó là tam giác đều. Ta được các điểm \(A\left( {1;\sqrt 3 } \right);B\left( { - 1;\sqrt 3 } \right)\). Vì vậy phương trình các đường thẳng \(\left( {OA} \right):y = \sqrt 3 x;\left( {OB} \right):y =  - \sqrt 3 x\).

Parabol \(\left( {{C_1}} \right):y = a{x^2} + c\) tiếp xúc với các đường thẳng trên cho nên ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3  = a{.1^2} + c\\\sqrt 3  = 2a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\c = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\).

Vì vậy diện tích cần tính là \(S = 12\int\limits_0^1 {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \sqrt 3 x} \right)} dx = 3,464\).

Đáp án: 2,65.

Gọi \[I\] là trung điểm của \[BC\], do \[ABCD\] là nửa lục giác đều nên \[OI \bot AD\]Chọn hệ trục toạ độ \[{\rm{Ox}}yz\] như hình vẽ

Khi đó \[S\left( {0; - 2a;2a\sqrt 3 } \right),A\left( {0; - 2a;0} \right),B\left( {a\sqrt 3 ; - a;0} \right),C\left( {a\sqrt 3 ;a;0} \right),D\left( {0;2a;0} \right)\].

Gọi góc giữa 2 mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\] là \[b.\]

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {SA} \left( {0;0; - 2a\sqrt 3 } \right),\overrightarrow {SB} \left( {a\sqrt 3 ;a; - 2a\sqrt 3 } \right),\overrightarrow {SC} \left( {a\sqrt 3 ;3a; - 2a\sqrt 3 } \right),\overrightarrow {SD} \left( {0;4a; - 2a\sqrt 3 } \right),\\\left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} } \right] = \left( {2{a^2}\sqrt 3 ; - 6{a^2};0} \right),\left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} } \right] = \left( {2{a^2}\sqrt 3 ;6{a^2};4{a^2}\sqrt 3 } \right)\end{array}\]

Suy ra vectơ pháp tuyến của \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\] lần lượt là

\[\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - \sqrt 3 ;0} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;\sqrt 3 ;2} \right),\cos b = \frac{{\left| {1 - 3 + 0} \right|}}{{\sqrt {1 + 3 + 0} .\sqrt {1 + 3 + 4} }} = \frac{1}{{\sqrt 8 }} \Rightarrow \tan b = \sqrt {\frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}b}} - 1}  = \sqrt 7  \approx 2,65.\]