Cho tờ giấy có hình dạng như sau: một hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng 8, ở hai cạnh đối diện \(AB\) và \(CD\) lần lượt gắn hai nửa đường tròn có đường kính là mỗi cạnh ấy. Trên cung tròn \(AB\), lấy 2 điểm chia thành ba đoạn bằng nhau, lấy điểm gần \(B\) là \(P\). Trên cung tròn \(CD\) lấy điểm \(Q\) chia thành hai đoạn bằng nhau. Gấp tờ giấy lên theo hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) sao cho hai nửa đường tròn dựng lên khỏi mặt phẳng \(ABCD\). Khi đó, từ hai điểm \(P\) và \(Q\) ta hạ các đường vuông góc xuống mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) được các hình chiếu là \(G\) và \(H\).

 

Cho biết \(G\) và \(H\) nằm bên trong hình vuông \(ABCD\) sao cho \(PG = \sqrt 3 ;\,QH = 2\sqrt 3 \). Gọi \(\theta \) là góc giữa mặt phẳng \(\left( {PCQ} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Hỏi giá trị của \[70{\cos ^2}\theta \] bằng bao nhiêu?

Đáp án: 40

Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc \(O\) trùng với đỉnh \(B\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\)của hình vuông. Các tia \(BC\) và

\(BA\) lần lượt nằm trên các trục \(Ox\) và \(Oy\).

Các đỉnh của hình vuông có tọa độ: \(B\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\), \(C\left( {8\,;\,0\,;\,0} \right)\), \(A\left( {0\,;\,8\,;\,0} \right)\), và \(D\left( {8\,;\,8\,;\,0} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) chính là mặt phẳng tọa độ \(Oxy\)có phương trình \(z = 0\), với vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow k  = \left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)\)

Nửa đường tròn đường kính \(AB\) có tâm \({O_1}\left( {0\,;\,4\,;\,0} \right)\) và bán kính \(R = 4\).

Điểm \(P\) chia cung  thành 3 đoạn bằng nhau và nằm gần \(B\), nên góc \(\widehat {P{O_1}B} = 60^\circ \).

Gọi \(P'\) là hình chiếu vuông góc của \(P\) lên đường thẳng \(AB\).

Khoảng cách \({O_1}P' = R\cos 60^\circ  = 4.\frac{1}{2} = 2\). Từ đó suy ra \(P'\left( {0\,;\,2\,;\,0} \right)\)

Khoảng cách từ \(P\) đến \(AB\) trên mặt phẳng  là \(P'P = R\sin 60^\circ  = 2\sqrt 3 \).

Sau khi gấp: Điểm \(P\) chiếu vuông góc xuống mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) thành điểm \(G\). Do đó, \(G\) phải nằm trên đường thẳng đi qua \(P'\) và vuông góc với trục \(AB\) . Nghĩa là \(G\) có tọa độ dạng \(\left( {{x_G}\,;\,2\,;\,0} \right)\). Vì \(G\) nằm trong hình vuông nên \({x_G} > 0\)

Xét tam giác vuông \(PP'G\) vuông tại \(G\), ta có:

\(P'G = \sqrt {P'{P^2} - P{G^2}}  = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 3\)

Từ đó suy ra \({x_G} = 3\), \(G\left( {3\,;\,2\,;\,0} \right)\) Do \(PG = \sqrt 3 \), tọa độ \(P\left( {3\,;\,2\,;\,\sqrt 3 } \right)\).

Nửa đường tròn đường kính \(CD\) có tâm \({O_2}\left( {8\,;\,4\,;0} \right)\) và bán kính \(R = 4\). Vì điểm \(Q\) chia đôi cung \(CD\) nên \(Q\) nằm ở đỉnh của nửa đường tròn. Hình chiếu của \(Q\) lên \(CD\) chính là tâm \({O_2}\). Khoảng cách từ \(Q\) đến \(CD\) là \({O_2}Q = R = 4\)

Tương tự như trên, điểm \(Q\) chiếu vuông góc xuống \(ABCD\) thành \(H\), do đó \(H\) nằm trên đường thẳng qua \({O_2}\)và vuông góc với \(CD\) . Do đó \(H\) có tọa độ dạng \(\left( {{x_H}\,;\,4\,;\,0} \right)\). Vì  nằm trong hình vuông nên \({x_H} < 8\).

Xét tam giác vuông \(Q{O_2}H\) vuông tại \(H\), ta có: \({O_2}H = \sqrt {{O_2}{Q^2} - Q{H^2}}  = 2\).

Vì khoảng cách \({O_2}H = 2\) và \(H\) nằm bên trong hình vuông nên \({x_H} = 8 - 2 = 6\).

Ta được \(H\left( {6\,;\,4\,;\,0} \right)\)

Do \(QH = 2\sqrt 3 \) ta có tọa độ \(Q\left( {6\,;\,4\,;\,2\sqrt 3 } \right)\).

Mặt phẳng $\left(PCQ\right):\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{CP};\overrightarrow{CQ}\right]=\left(0;8\sqrt{3};-16\right)$

Chọn vecto pháp tuyến của \(\left( {PCQ} \right)\): $\left(0;\sqrt{3};-2\right)$

​Góc \(\theta \) giữa mặt phẳng \(\left( {PCQ} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\):

\(\cos \theta  = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{2}{{\sqrt 7 }}\).

Khi đó \({\cos ^2}\theta  = \frac{4}{7}\). Vậy \(70{\cos ^2}\theta  = 40\).