Cho \(\Delta ABC,E\) là trung điểm BC, I là trung điểm của AB. Gọi D, J, K lần lượt là các điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {BE}  = 2\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {AJ}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {JC} ,\overrightarrow {IK}  = m\overrightarrow {IJ} \). Tìm m để A, K, D thẳng hàng.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: A, K, D thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD}  = n\overrightarrow {AK}  = n\left( {\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IK} } \right)\) (1)

Từ \(\overrightarrow {BE}  = 2\overrightarrow {BD} \) suy ra

\(2\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)

\( = 3\overrightarrow {AI}  + \frac{3}{2}\overrightarrow {AJ}  = 3\overrightarrow {AI}  + \frac{3}{2}\left( {\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IJ} } \right) = \frac{9}{2}\overrightarrow {AI}  + \frac{3}{2}\overrightarrow {IJ} \)

Mà \(\overrightarrow {IK}  = m\overrightarrow {IJ} \) nên \(2\overrightarrow {AD}  = \frac{9}{2}\overrightarrow {AI}  + \frac{3}{{2m}}\overrightarrow {IK}  \Rightarrow \overrightarrow {AD}  = \frac{9}{4}\overrightarrow {AI}  + \frac{3}{{4m}}\overrightarrow {IK} \) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \frac{9}{4} = \frac{3}{{4m}} \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}\).