Cho tam giác \(ABC\). Hai điểm \(M,N\) được xác định bởi các hệ thức: \(\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {MA}  = \vec 0,\) \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {NA}  - 3\overrightarrow {AC}  = \vec 0\).

Lời giải

a) Sai                                b) Đúng                           c) Sai                              d) Đúng

Ta có: \(\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {NA}  - 3\overrightarrow {AC}  = \vec 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right) - 3\overrightarrow {AC}  + \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AN} } \right) = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  - 3\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {MN}  = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MN}  = 2\overrightarrow {AC} \).

Suy ra hai vectơ \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {AC} \) cùng phương (1).

Xét: \(\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {MA}  = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {BC} \). Do đó \(M\) là một đỉnh của hình bình hành \(ABCM\) hay \(M\) không thuộc đường thẳng \(AC(2)\).

Từ (1) và (2) suy ra hai đường thẳng \(MN\) và \(AC\) song song.