Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn (với C khác A và B). Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt BC tại E. Gọi D là trung điểm của BC.

(a) Chứng minh rằng tứ giác AODE nội tiếp được đường tròn.

(b) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AODE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng \[\widehat {{\rm{EOF}}} = \widehat {FBA}\].

(c) Lấy điểm M thay đổi trên cung nhỏ AC của (O). Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt AE tại N. Đường thẳng AM cắt BC tại C’, AC và BM cắt nhau tại H, BN cắt C’H tại I. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cung nhỏ AC thì I luôn nằm trên một đường thẳng cố định.

a) Do AE là tiếp tuyến của (O) nên \[\widehat {EAO} = 90^\circ \]. Suya ra tam giác AEO nội tiếp đường tròn đường kính EO

D là trung điểm BC nên \[\widehat {ODE} = 90^\circ \]. Suy ra tam giác EOD nội tiếp đường tròn đường kính EO.

Suy ra tứ giác AODE nên nội tiếp đường tròn đường kính OE

b) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFFO ta có\[\widehat {{\rm{EOF}}} = \widehat {EAF}\](hai góc nội tiếp cùng chắn cung EF) (1)

Đường tròn (O) ta có \[\widehat {AFB} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {FAB} + \widehat {FBA} = 90^\circ \]

Lại cos \[\widehat {FAB} + \widehat {FAE} = 90^\circ \] nên \[\widehat {FBA} = \widehat {FAE}\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra : \[\widehat {{\rm{EOF}}} = \widehat {FBA}\]

c) Gọi K là giao điểm của BM với AE.

Ta có NM, NA là hai tiếp tuyến của (O) nên NM = NA. Do đó tam giác MAN cân tại N. Suy ra \[\widehat {NMA} = \widehat {NAM}\]. (3)

Ta có \[\widehat {MKN} + \widehat {MAN} = 90^\circ \], \[\widehat {NMK} + \widehat {NMA} = 90^\circ \] (4)

Từ (3) và (4) suy ra KMN cân tại N. Do đó NM = NK

Suy ra: NA = NK.

Chứng minh được H là trực tâm tam giác C’AB nên C’H AB

Lại có AE AB nên C’H // AE.

Gọi J là giao điểm của HC với AB ta có:

HJ // AK nên \[\frac{{HI}}{{NK}} = \frac{{BI}}{{BN}} = \frac{{JI}}{{NA}}\]

mà NA = NK nên IH = IJ.

Gọi P là hình chiếu của C trên AB. Do A, B, C cố định nên P cố định. Gọi G là giao điểm của AI với CP thì

CP // JH nên \[\frac{{IH}}{{{\rm{IJ}}}} = \frac{{AI}}{{AG}} = \frac{{GC}}{{GP}}\] mà IH = IJ nên GC = GP. Do đó G là trung điểm đoạn CP cố định nên G cố định.

Vậy I thuộc đường thẳng AG cố định khi M di động trên cung nhỏ AC.