Trên nóc của một tòa nhà có một cột ăng – ten cao 3,5 m. Từ vị trí quan sát A cao 6,8 m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng – ten dưới góc 55⁰ và 45⁰ so với phương nằm ngang, tức là \(\widehat {BAE} = {55^0},\) \(\widehat {CAE} = {45^0}\). Tính chiều cao của tòa nhà (kết quả làm tròn đến hàng phần mười, đơn vị độ dài là mét).

a) Do AE là tiếp tuyến của (O) nên \[\widehat {EAO} = 90^\circ \]. Suya ra tam giác AEO nội tiếp đường tròn đường kính EO

D là trung điểm BC nên \[\widehat {ODE} = 90^\circ \]. Suy ra tam giác EOD nội tiếp đường tròn đường kính EO.

Suy ra tứ giác AODE nên nội tiếp đường tròn đường kính OE

b) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFFO ta có\[\widehat {{\rm{EOF}}} = \widehat {EAF}\](hai góc nội tiếp cùng chắn cung EF) (1)

Đường tròn (O) ta có \[\widehat {AFB} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {FAB} + \widehat {FBA} = 90^\circ \]

Lại cos \[\widehat {FAB} + \widehat {FAE} = 90^\circ \] nên \[\widehat {FBA} = \widehat {FAE}\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra : \[\widehat {{\rm{EOF}}} = \widehat {FBA}\]

c) Gọi K là giao điểm của BM với AE.

Ta có NM, NA là hai tiếp tuyến của (O) nên NM = NA. Do đó tam giác MAN cân tại N. Suy ra \[\widehat {NMA} = \widehat {NAM}\]. (3)

Ta có \[\widehat {MKN} + \widehat {MAN} = 90^\circ \], \[\widehat {NMK} + \widehat {NMA} = 90^\circ \] (4)

Từ (3) và (4) suy ra KMN cân tại N. Do đó NM = NK

Suy ra: NA = NK.

Chứng minh được H là trực tâm tam giác C’AB nên C’H AB

Lại có AE AB nên C’H // AE.

Gọi J là giao điểm của HC với AB ta có:

HJ // AK nên \[\frac{{HI}}{{NK}} = \frac{{BI}}{{BN}} = \frac{{JI}}{{NA}}\]

mà NA = NK nên IH = IJ.

Gọi P là hình chiếu của C trên AB. Do A, B, C cố định nên P cố định. Gọi G là giao điểm của AI với CP thì

CP // JH nên \[\frac{{IH}}{{{\rm{IJ}}}} = \frac{{AI}}{{AG}} = \frac{{GC}}{{GP}}\] mà IH = IJ nên GC = GP. Do đó G là trung điểm đoạn CP cố định nên G cố định.

Vậy I thuộc đường thẳng AG cố định khi M di động trên cung nhỏ AC.

= 32 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

Theo hệ thức Viète ta có x₁ + x₂ = 6 và x₁x₂ = 1

Do x₁ là nghiệm của phương trình nên x₁² – 6x₁ + 1 = 0 nên x₁² = 6x₁ – 1

Suy ra \[\frac{{x_1^3 - 7x_1^2 + {x_1} - 6{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}} = \frac{{x_1^3 - 6x_1^2 + {x_1} - x_1^2 - 6{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}}\]

\[ = \frac{{{x_1}(x_1^2 - 6{x_1} + 1) - 6{x_1} + 1 - 6{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}}\]

\[ = \frac{{ - 6({x_1} + {x_2}) + 1}}{{{x_1} + {x_2}}} = \frac{{ - 35}}{6}\]