Một cái túi chứa 5 quả bóng giống nhau đánh sô 12, 13, 14, 15, 16. Bốc ngẫu nhiên lần lượt hai quả bóng(quả bốc lần đầu không hoàn lại).

(a) Mô tả không gian mẫu và xác định các kết quả thuận lợi cho biến cố A: “ Số ghi trên hai quả bóng đều là số chẵn”.

(b) Tính xác suất của biến cố B: “Tích hai số ghi trên hai quả bóng lấy được chia cho 3 dư 1”

+ Dựa vào hình vẽ bài toán, ta có:

BC = 3,5m

AD = EH = 6,8 m

\[\widehat {CEA} = \widehat {BEA} = {90^o}\]

+ Xét \[\Delta CAE\]vuông tại E và \(\widehat {CAE} = 45^\circ \) nên vuông cân. Do đó EC = EA (1)

+ Xét \[\Delta BAE\]vuông ở E ta có:

\[\tan \widehat {BAE} = \frac{{BE}}{{AE}} \Rightarrow BE = AE.\tan 55^\circ \](2)

+ Từ (1) và (2) ta suy ra:

\[BC = BE - CE = AE\tan {55^o} - AE\] hay \[3,5 = AE\left( {\tan {{55}^o} - 1} \right)\]\[AE = \frac{{3,5}}{{\tan {{55}^o} - 1}}{\rm{ }}\left( m \right)\]

Suy ra: \[CH = CE + EH = \frac{{3,5}}{{\tan {{55}^o} - 1}} + 6,8 \approx 15,0{\rm{ }}\left( m \right)\]

Vậy chiều cao của tòa nhà là 15,0 (m)

a) Do AE là tiếp tuyến của (O) nên \[\widehat {EAO} = 90^\circ \]. Suya ra tam giác AEO nội tiếp đường tròn đường kính EO

D là trung điểm BC nên \[\widehat {ODE} = 90^\circ \]. Suy ra tam giác EOD nội tiếp đường tròn đường kính EO.

Suy ra tứ giác AODE nên nội tiếp đường tròn đường kính OE

b) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFFO ta có\[\widehat {{\rm{EOF}}} = \widehat {EAF}\](hai góc nội tiếp cùng chắn cung EF) (1)

Đường tròn (O) ta có \[\widehat {AFB} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {FAB} + \widehat {FBA} = 90^\circ \]

Lại cos \[\widehat {FAB} + \widehat {FAE} = 90^\circ \] nên \[\widehat {FBA} = \widehat {FAE}\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra : \[\widehat {{\rm{EOF}}} = \widehat {FBA}\]

c) Gọi K là giao điểm của BM với AE.

Ta có NM, NA là hai tiếp tuyến của (O) nên NM = NA. Do đó tam giác MAN cân tại N. Suy ra \[\widehat {NMA} = \widehat {NAM}\]. (3)

Ta có \[\widehat {MKN} + \widehat {MAN} = 90^\circ \], \[\widehat {NMK} + \widehat {NMA} = 90^\circ \] (4)

Từ (3) và (4) suy ra KMN cân tại N. Do đó NM = NK

Suy ra: NA = NK.

Chứng minh được H là trực tâm tam giác C’AB nên C’H AB

Lại có AE AB nên C’H // AE.

Gọi J là giao điểm của HC với AB ta có:

HJ // AK nên \[\frac{{HI}}{{NK}} = \frac{{BI}}{{BN}} = \frac{{JI}}{{NA}}\]

mà NA = NK nên IH = IJ.

Gọi P là hình chiếu của C trên AB. Do A, B, C cố định nên P cố định. Gọi G là giao điểm của AI với CP thì

CP // JH nên \[\frac{{IH}}{{{\rm{IJ}}}} = \frac{{AI}}{{AG}} = \frac{{GC}}{{GP}}\] mà IH = IJ nên GC = GP. Do đó G là trung điểm đoạn CP cố định nên G cố định.

Vậy I thuộc đường thẳng AG cố định khi M di động trên cung nhỏ AC.