Một vận động viên đánh quần vợt đang giao bóng. Từ độ cao \[{\rm{h}},\] anh ta muốn bóng rơi ở vị trí cách lưới \(6{\rm{m}}\) như hình bên dưới. Tính góc tạo bởi mặt sân và đường bay của bóng ở hình bên dưới (biết bóng bay chạm mép lưới) và tính độ cao h khi giao bóng để bóng không chạm lưới.

a) Xét tứ giác AFHE có:

+ \[\widehat {AFH} = {90^o}\] (CF là đường cao)

+ \[\widehat {AEH} = {90^o}\] (BE là đường cao)

\[ \Rightarrow \widehat {AEH} + \widehat {AFH} = {90^o} + {90^o} = {180^o}\]. Mà \[\widehat {AEH}\] và \[\widehat {AFH}\] là hai góc đối nên AEHF là tứ giác nội tiếp

b) Suy ra \[\widehat {FAH} = \widehat {FEH}\,\,\](Hai góc nội tiếp cùng chắn cung FH)

- Xét \[\Delta BAH\]và \[\Delta BEF\]có: \[\widehat {HBF}\] : chung

\[\widehat {BAH} = \widehat {BEF}\] (chứng minh trên)

Do đó: \[\Delta BAH\]đồng dạng \[\Delta BEF\] (g – g)

Suy ra: \[\frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{BF}}{{EF}}\].

Do đó BH.EF = BF.AH

c) Ta có tứ giác ADBC nội tiếp đường tròn (O) nên: \[\widehat {KDB} = \widehat {ACB}\]. Mà \[\widehat {DKB} = \widehat {BEC} = {90^o}\]nên \[\Delta DKB\]đồng dạng với \[\Delta CEB\] (g – g).

Suy ra: \[\widehat {DBK} = \widehat {EBC}\] (1)

- Chứng minh tứ giác DKBF nội tiếp, từ đó suy ra: \[\widehat {DFK} = \widehat {DBK}\](2)

Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp, từ đó suy ra: \[\widehat {EFC} = \widehat {EBC}\] (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: \[\widehat {DFK} = \widehat {EFC}\]

- Mà: \[\widehat {DFK} + \widehat {KFC} = {180^o}\]nên \[\widehat {EFC} + \widehat {KFC} = {180^o}\,\].

Do đó K, F, E thẳng hàng. (4)

- Chứng minh KF, PE lần lượt là các đường trung bình của \[\Delta BPI\] và \[\Delta BIQ\].

Suy ra: PI // KF và IQ // PE (5)

Từ (4) và (5) ta có P, I, Q thẳng hàng

Xét phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 3} \right)x + 2m + 1 = 0\,\,\,\,\,(1)\) có:

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {{b'}^2} - ac = {\left( {m + 3} \right)^2} - \left( {2m + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\, = {m^2} + 6m + 9 - 2m - 1 = {m^2} + 4m + 8 = {\left( {m + 2} \right)^2} + 4 > 0\end{array}\)

Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Hệ thức Viète : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 3} \right)\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = 2m + 1\end{array} \right.\)

Theo đề \[x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1} - 2{x_2} = 10.\]

Hay \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 10\)

\(4{\left( {m + 3} \right)^2} - 2.\left( {2m + 1} \right) - 2.2.\left( {m + 3} \right) = 10\)

\(4{m^2} + 16m + 12 = 0\)

\[{m^2} + 4m + 3 = 0\]