Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 5y = 12\\2x + 3y = 4\end{array} \right.\)                              

b) \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 7y = 9\\5x - 3y = 1\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l} - 4x + 3y = 0\\4x - 5y =  - 8\end{array} \right.\)                              

d) \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 0\\x + 3y = 9\end{array} \right.\)

e) \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 7\\2x - 3y =  - 4\end{array} \right.\)                              

f) \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 6\\ - 5x + 2y = 4\end{array} \right.\)

g) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 5y = 2\\ - 6x + 10y =  - 4\end{array} \right.\)                            

h) \(\left\{ \begin{array}{l} - 0,5x + 0,5y = 1\\ - 2x + 2y = 8\end{array} \right.\)

a) Cộng từng vế của hai phương trình ta được \(8y = 16\) suy ra \(y = 2\)

Thế \(y = 2\) vào phương trình thứ hai ta được \(2x + 3.2 = 4\) hay \(2x =  - 2\) suy ra \(x =  - 1\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( { - 1;2} \right)\)

b) Trừ từng vế của hai phương trình ta được \(\left( {5x - 5x} \right) + \left( { - 7y + 3y} \right) = 9 - 1\) hay \( - 4y = 8\) suy ra \(y =  - 2\)

Thế \(y =  - 2\) vào phương trình thứ nhất, ta được \(5x - 7.\left( { - 2} \right) = 9\) hay \(5x + 14 = 9\) suy ra \(x =  - 1\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( { - 1; - 2} \right)\)

c) Cộng từng vế của hai phương trình ta được \( - 2y =  - 8\) suy ra \(y = 4\)

thế \(y = 4\) vào phương trình thứ nhất ta được \( - 4x + 3.4 = 0\) hay \( - 4x =  - 12\) suy ra \(x = 3\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {3;4} \right)\)

d) Trừ từng vế của hai phương trình ta được \(3x =  - 9\) suy ra \(x =  - 3\)

Thế \(x =  - 3\) vào phương trình thứ nhất ta được \(4.\left( { - 3} \right) + 3.y = 0\) hay \(3y = 12\) suy ra \(y = 4\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( { - 3;4} \right)\)

e) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 và nhân hai vế của phương trình thứ 2, ta được

\(\left\{ \begin{array}{l}9x + 6y = 21\\2x - 6y =  - 8\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình của hệ mới ta được \(13x = 13\) hay \(x = 1\). Thế \(x = 1\) vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho ta có \(3.1 + 2y = 7\) suy ra \(y = 2\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {1;2} \right)\)

f) Nhân hai vế của phương trình thứ nhát cho 5 và nhân của hai vế của phương trình thứ hai cho 4 ta được hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}20x + 15y = 30\\ - 20x + 8y = 16\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình của hệ mới ta được \(23y = 46\) suy ra \(y = 2\)

Thế \(y = 2\) vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho ta có \(4x + 3.2 = 6\) hay \(4x = 0\) suy ra \(x = 0\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {1;2} \right)\)

g) Chia cả hai vế của phương trình thứ hai cho 2, ta được hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 5y = 2\\ - 3x + 5y =  - 2\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình của hệ mới ta được \(0x + 0y = 0\). Hệ thức này luôn thỏa mãn với các giá trị tùy ý của \(x\) và \(y\).

Với giá trị tùy ý của \(x\) giá trị của \(y\) tính được nhờ hệ thức \(3x - 5y = 2\) suy ra \(y = \frac{3}{5}x - \frac{2}{5}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;\frac{3}{5}x - \frac{2}{5}} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\).

h) Nhân hai vế của phương trình thứu nhất cho 4 ta được hệ \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 2y = 4\\ - 2x + 2y = 8\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình của hệ mới ta được \(0x + 0y = 12\). Không tìm được bất kì giá trị \(x,y\) nào thỏa mãn hệ thức này.

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.