Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {a + 1} \right)x - ay = 5\left( 1 \right)\\x + ay = {a^2} + 4a\left( 2 \right)\end{array} \right.\) Tìm các giá trị của \(a \in \mathbb{Z}\) để cho hệ có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) với \(x,y \in \mathbb{Z}\)

Từ phương trình \(\left( 2 \right)\) ta có \(x = {a^2} + 4a - ay\). Thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được

\(\left( {a + 1} \right).\left( {{a^2} - 4a - ay} \right) - ay = 5 \Rightarrow a\left( {a + 2} \right)y = {a^3} + 5{a^2} + 4a - 5\) (3)

+ nếu \(a = 0\) hoặc \(a =  - 2\) thì phương trình \(\left( 3 \right)\) vô nghiệm

+ Điều kiện để phương trình có nghiệm duy nhất là \(a \ne 0;a \ne  - 2\). Khi đó

\(y = \frac{{{a^3} + 5{a^2} + 4a - 5}}{{a\left( {a + 2} \right)}} \Rightarrow x = \frac{{{a^2} + 4a + 5}}{{a + 2}}\)

+ Trước hết ta tìm \(a \in \mathbb{Z}\) để \(x \in \mathbb{Z}\)

\(x = \frac{{{{\left( {a + 2} \right)}^2} + 1}}{{a + 2}} = a + 2 + \frac{1}{{a + 2}}\)

Để \(x \in \mathbb{Z}\) thì \(a + 2 \in U\left( 1 \right)\) hay \(a + 2 =  \pm 1 \Rightarrow a =  - 3;a =  - 1\)

+ Với \(a =  - 3\) thì \(y = \frac{{{{\left( { - 3} \right)}^3} + 5.{{\left( { - 3} \right)}^2} + 4.\left( { - 3} \right) - 5}}{{ - 3.\left( { - 3 + 2} \right)}} = \frac{1}{3} \notin \mathbb{Z}\)

+ Với \(a =  - 1\) thì \(y = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^3} + 5.{{\left( { - 1} \right)}^2} + 4.\left( { - 1} \right) - 5}}{{ - 1.\left( { - 1 + 2} \right)}} = 5 \in \mathbb{Z}\)

Vậy với \(a =  - 1\) thì hệ có nghiệm nguyên là \(\left( {2;5} \right)\).