60 bài tập Toán 9 Cánh diều Bài 3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án

a) Thế \(y = 2 - 4x\) ở phương trình dưới vào phương trình trên ta được

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{7x - 3(2 - 4x) = 5}\\{y = 2 - 4x}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{19x - 6 = 5}\\{y = 2 - 4x}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{11}}{{19}}}\\{y = \frac{{ - 6}}{{19}}}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Kết luận: Nghiệm của hệ là \(\left( {\frac{{11}}{{19}};\frac{{ - 6}}{{19}}} \right)\).

b) Thế \(y = \sqrt 5 (x + 1 - \sqrt 3 )\) ở phương trình trên vào phương trình dưới ta được

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = \sqrt 5 (x + 1 - \sqrt 3 )}\\{2\sqrt 3 x + 15(x + 1 - \sqrt 3 ) = 21}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = \sqrt 5 (x + 1 - \sqrt 3 )}\\{(15 + 2\sqrt 3 )x = 3(2 + 5\sqrt 3 )}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{3(2 + 5\sqrt 3 )}}{{15 + 2\sqrt 3 }} = \frac{{3(2 + 3\sqrt 3 )(15 - 2\sqrt 3 )}}{{225 - 12}} = \frac{{3 \cdot 71\sqrt 3 }}{{213}} = \sqrt 3 }\\{y = \sqrt 5 (\sqrt 3  + 1 - \sqrt 3 ) = \sqrt 5 }\end{array}} \right.\)

Kết luận: Nghiệm của hệ là \((\sqrt 3 ;\sqrt 5 )\).

c) Thế \(y = \frac{{1,7x - 3,8}}{2}\) ở phương trình trên vào phương trình dưới ta được

Kết luận: Nghiệm của hệ là \(\left( {\frac{{198}}{{127}};\frac{{ - 73}}{{127}}} \right)\).

a) Cộng hai phương trình của hệ cho nhau ta được phương trình

\(5x = 10 \Leftrightarrow x = 2{\rm{ }}{\rm{. }}\)

Do đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{2x - y = 7}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y =  - 3}\end{array}} \right.} \right.\)

Kết luận: Nghiệm của hệ là \((2; - 3)\).

b) Nhân phương trình đầu của hệ cho 3, nhân phương trình sau của hệ cho 2 và trừ theo vế hai phương trình của hệ, ta được

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{24x - 21y = 15}\\{24x + 26y =  - 16}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8x - 7y = 5}\\{47y =  - 31}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{{ - 31}}{{47}}}\\{x = \frac{9}{{188}}.}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Kết luận: Nghiệm của hệ là \(\left( {\frac{9}{{188}};\frac{{ - 31}}{{47}}} \right)\).

c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5(x + 2y) = 3x - 1}\\{2x + 4 = 3(x - 5y) - 12}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5x + 10y = 3x - 1}\\{2x + 4 = 3x - 15y - 12}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 10y =  - 1}\\{ - x + 15y =  - 16}\end{array}} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình sau cho 2 và cộng với phương trình đầu ta được

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 10y =  - 1}\\{ - 2x + 30y =  - 32}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - x + 15y =  - 16}\\{40y =  - 33}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{{ - 33}}{{40}}}\\{x = \frac{{29}}{8}}\end{array}} \right.\)

Kết luận: Nghiệm của hệ là \(\left( {\,\frac{{29}}{8};\frac{{ - 33}}{{40}}\,} \right)\).

a) Đặt \(u = \frac{1}{x},v = \frac{1}{y}(x \ne 0,y \ne 0)\). Ta được

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{15u - 7v = 9}\\{4u + 9v = 35}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{60u - 28v = 36}\\{60u + 135v = 525}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{163v = 489}\\{60u - 28v = 36}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{v = 3}\\{u = 2}\end{array}} \right.\)

Do đó \(x = \frac{1}{2},y = \frac{1}{3}\).

b) Đặt \(u = \frac{1}{{x - y + 2}},v = \frac{1}{{x + y - 1}},(x - y + 2 \ne 0,x + y - 1 \ne 0)\). Ta được

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{7u - 5v = 4,5}\\{3u + 2v = 4}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{14u - 10v = 9}\\{15u + 10v = 20}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{29u = 29}\\{7u - 5v = 4,5}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = 1}\\{v = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y + 2 = 1}\\{x + y - 1 = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{1}{4}}\\{y = \frac{5}{4}}\end{array}} \right.\)

a) Xét hai trường hợp \(y \ge 0\)hệ có nghiệm \(\,(2;3)\).

Khi \(\,y < 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 13\\3x - y = 3\end{array} \right.\) thì hệ có nghiệm là \(\left( { - \frac{4}{7}; - \frac{{33}}{7}} \right)\)

b) Đặt \(u = \frac{1}{{x + y - 1}};\,v = \frac{1}{{2x - y + 3}}\).

Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}4u - 5x = \frac{5}{2}\\3u + v = \frac{7}{5}\end{array} \right.\) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}u = \frac{1}{2}\\v =  - \frac{1}{{10}}\end{array} \right.\)

Từ đó ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = 2\\2x - y + 3 =  - 10\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{{10}}{3}\\y = \frac{{19}}{3}\end{array} \right.\).

a) Đặt \(u = \frac{1}{{x + y}};\,v = \frac{1}{{x - y}};\,\left( {\frac{{77}}{{20}};\,\frac{{ - 63}}{{20}}} \right)\).

b) Đặt \(u = \sqrt x ;\,v = \sqrt y ;\,\left( {u,v \ge 0} \right)\,;\,\,(0;1)\).

a) Đặt \(u = \sqrt {x - 1} ;\,v = \sqrt {y - 1} ;\,\left( {u,v \ge 0} \right)\,;\,\,(2;2)\)

b) \(\left( {1 \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3};\,\frac{{ - 5}}{9}} \right)\).