12 bài tập Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn bậc hai có lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(A = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }}\).

Với x > 0, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x \frac{2}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 2 \).

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x = \frac{2}{{\sqrt x }}\) hay x = 2.

Vậy GTNN của A = \(2\sqrt 2 \) khi x = 2.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(B = \frac{{2\sqrt x + 9}}{{\sqrt x + 2}} = 2 + \frac{5}{{\sqrt x + 2}}\).

Với x ≥ 0, ta có: \(\sqrt x + 2 \ge 2\) suy ra \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{5}{2}\).

Do đó, 2 + \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{5}{2} + 2\) hay B ≤ \(\frac{9}{2}\).

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Vật GTLN của B = \(\frac{9}{2}\) khi x = 0.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: x ≥ 0.

Ta có: \(C = \frac{{2\sqrt x + 11}}{{3\sqrt x + 2}} = \frac{{2\left( {\sqrt x + \frac{2}{3}} \right) + \frac{{29}}{3}}}{{3\left( {\sqrt x + \frac{2}{3}} \right)}} = \frac{2}{3} + \frac{{29}}{{3\left( {3\sqrt x + 2} \right)}}\).

Với x ≥ 0, ta có: \(3\sqrt x + 2 \ge 2\) suy ra \(3\left( {3\sqrt x + 2} \right) \ge 6\).

Do đó, \(\frac{{29}}{{3\left( {3\sqrt x + 2} \right)}} \le \frac{{29}}{6}\) .

Suy ra \(\frac{2}{3} + \frac{{29}}{{3\left( {3\sqrt x + 2} \right)}} \le \frac{{11}}{2}\) hay C ≤ \(\frac{{11}}{2}\).

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Vậy GTLN của C = \(\frac{{11}}{2}\) khi x = 0.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định: x > 0.

Ta có: \(D = \frac{{x - \sqrt x + 1}}{x} = 1 - \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{x} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - 2.\frac{1}{2}\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{x} = \frac{3}{4} + {\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2}\).

Nhận thấy \({\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2} \ge 0\) nên \(\frac{3}{4} + {\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2} \ge \frac{3}{4}\) hay D \( \ge \frac{3}{4}\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\frac{1}{2} - \frac{1}{{\sqrt x }} = 0\) suy ra \(\sqrt x = 2\) khi x = 4.

Vậy GTNN của của D = \(\frac{3}{4}\) khi x = 4.

Đáp án đúng là: A

Với x ≥ 0, x ≠ 1, ta có:

\(D = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\)

\(D = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right].\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\)

\(D = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} - \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right].\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\)

\(D = \frac{{\left[ {x\sqrt x + 2x + \sqrt x - 2x - 4\sqrt x - 2 - x\sqrt x + \sqrt x - 2x + 2} \right]}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{{\left( {x - 1} \right)}}{2}\)

\(D = \frac{{\left( { - 2x - 2\sqrt x } \right)}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{{\left( {x - 1} \right)}}{2} = \frac{{ - 2\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{2} = - \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\).

Ta có: \(D = - \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) = - x + \sqrt x = - x + 2.\frac{1}{2}\sqrt x - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = - {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4}\).

Nhận thấy \( - {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0\) nên \( - {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4} \le \frac{1}{4}\).

Dấu “=” xảy ra khi x = \(\frac{1}{4}\).

Vậy GTLN của D = \(\frac{1}{4}\) khi x = \(\frac{1}{4}\).

Đáp án đúng là: D

Với x > 0 và x ≠ 1, ta có:

\(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\).

Có: \(P = \frac{A}{B} + 2018\) với x > 1.

\( = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x }} + 2018\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 2}} + 2018\)

\( = \frac{x}{{\sqrt x - 1}} + 2018\)

\( = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + 2018\)

\( = \sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + 2018\)

\( = \sqrt x - 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + 2020\)

Với x > 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(\sqrt x - 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt x - 1} \right).\frac{1}{{\sqrt x - 1}}} = 2\)

Suy ra \(\sqrt x - 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + 2020 \ge 2022\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x - 1 = \frac{1}{{\sqrt x - 1}}\) hay x = 4 (do x > 1).

Vậy GTNN của P = 2022 khi x = 4.