Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x }}\) với x > 0 và x ≠ 1. Tính giá trị nhỏ nhất của \(P = \frac{A}{B} + 2018\) khi x > 1

Đáp án đúng là: D

Với x > 0 và x ≠ 1, ta có:

\(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\).

Có: \(P = \frac{A}{B} + 2018\) với x > 1.

\( = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x }} + 2018\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 2}} + 2018\)

\( = \frac{x}{{\sqrt x - 1}} + 2018\)

\( = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + 2018\)

\( = \sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + 2018\)

\( = \sqrt x - 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + 2020\)

Với x > 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(\sqrt x - 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt x - 1} \right).\frac{1}{{\sqrt x - 1}}} = 2\)

Suy ra \(\sqrt x - 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + 2020 \ge 2022\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x - 1 = \frac{1}{{\sqrt x - 1}}\) hay x = 4 (do x > 1).

Vậy GTNN của P = 2022 khi x = 4.