Câu hỏi:
09/01/2025 6,835Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x }}\) với x > 0 và x ≠ 1. Tính giá trị nhỏ nhất của \(P = \frac{A}{B} + 2018\) khi x > 1
Quảng cáo
Trả lời:
Đáp án đúng là: D
Với x > 0 và x ≠ 1, ta có:
\(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\).
Có: \(P = \frac{A}{B} + 2018\) với x > 1.
\( = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x }} + 2018\)
\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 2}} + 2018\)
\( = \frac{x}{{\sqrt x - 1}} + 2018\)
\( = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + 2018\)
\( = \sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + 2018\)
\( = \sqrt x - 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + 2020\)
Với x > 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\(\sqrt x - 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt x - 1} \right).\frac{1}{{\sqrt x - 1}}} = 2\)
Suy ra \(\sqrt x - 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + 2020 \ge 2022\).
Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x - 1 = \frac{1}{{\sqrt x - 1}}\) hay x = 4 (do x > 1).
Vậy GTNN của P = 2022 khi x = 4.
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Với x > 0 và x ≠ 4, ta có:
\(Q = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{5\sqrt x - 2}}{{4 - x}}\)
\(Q = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\(Q = \frac{{x - 3\sqrt x + 2 + 5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\(Q = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\).
Ta có: \(\frac{P}{Q} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }}\).
Do x > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\(\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x \frac{3}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 3 \).
Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x = \frac{3}{{\sqrt x }}\) suy ra x = 3 (thỏa mãn).
Vậy GTNN của \(\frac{P}{Q}\) bằng \(2\sqrt 3 \) khi x = 3.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Với x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9, ta có:
\(B = \left( {\frac{{3\sqrt x + 6}}{{x - 4}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}} \right):\frac{{x - 9}}{{\sqrt x - 3}}\)
\(B = \left[ {\frac{{\left( {3\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}} \right].\frac{1}{{\sqrt x + 3}}\)
\(B = \frac{{3\sqrt x + 6 + x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{1}{{\sqrt x + 3}}\)
\(B = \frac{{x + 5\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{1}{{\sqrt x + 3}}\)
\(B = \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{1}{{\sqrt x + 3}}\)
\(B = \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\).
Ta có: M = A.B = \(\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}}.\frac{1}{{\sqrt x - 2}} = \frac{1}{{\sqrt x + 3}}\).
Vì x ≥ 0 nên \(\sqrt x \ge 0\) suy ra \(\sqrt x + 3 \ge 3\). Do đó \(\frac{1}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{1}{3}\).
Dấu “=” xảy ra khi x = 0 (thỏa mãn).
Vậy GTLN của M = \(\frac{1}{3}\) khi x = 0.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.