5 bài tập Xác định tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thõa điều kiện cho trước (biểu thức không đối xứng) (có lời giải)

Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow {\Delta ^\prime } = 1 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 1\)        (*)

Theo hệ thức Viète ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - 2}\\{{x_1}{x_2} = m}\end{array}} \right.\)

Kết hợp với giả thiết \(3{x_1} + 2{x_2} = 1\) ta có hệ : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{3{x_1} + 2{x_2} = 1\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\\{{x_1}{x_2} = m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)}\end{array}} \right.\)

Từ (1) và (2) giải ra ta được: \({x_1} = 5;\,\,{x_2} = - 7\).

Thay vào (3) ta được :\(m = - 35\)(thỏa (*)). Vậy \(m = - 35\).

Có \(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left( { - {m^2} - 1} \right) = {m^2} + 5 > 0\,\forall m.\)

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{\rm{ }}{x_2}\]

Theo định lý Viét, ta có $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$=4$ ; $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$ $=-m^2-1$

Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = - 5{x_1}\\{x_1} + {x_2} = 4\end{array} \right. \Rightarrow - 5{x_1} + {x_1} = 4 \Rightarrow {x_1} = - 1 \Rightarrow {x_2} = 5.\)

Có \(\Delta ' = {\left[ { - \left( {k - 1} \right)} \right]^2} - 1.\left( { - 4k} \right) = {\left( {k - 1} \right)^2} + 4k = {\left( {k + 1} \right)^2}\)

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{\rm{ }}{x_2}\] khi \(k \ne - 1\)

Theo định lý Viét, ta có \({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\) \( = 2k - 2\), \({x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - 4k\)

Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3{x_1} - {x_2} = 2\\{x_1} + {x_2} = 2k - 2\end{array} \right. \Rightarrow 4{x_1} = 2k \Rightarrow {x_1} = \frac{k}{2} \Rightarrow {x_2} = \frac{{3k - 4}}{2}.\)

Thay\({x_1} = \frac{k}{2} \Rightarrow {x_2} = \frac{{3k - 4}}{2}.\) vào \({x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\)\( = - 4k\) , ta được

\(\frac{k}{2} \cdot \frac{{3k - 4}}{2} = - 4k \Leftrightarrow 3{k^2} + 12k = 0 \Leftrightarrow k = 0,k = - 4\) (thỏa mãn).

Vậy \(k = 0,k = - 4\) là giá trị cần tìm.

Có \(\Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 1.\left( {m + 3} \right) = 6 - m.\)

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{\rm{ }}{x_2}\] khi \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 6 - m > 0 \Leftrightarrow m < 6\)

Theo định lý Viét, ta có \({x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\)\( = 6\) , \({x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\)\( = m + 3\)

Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = x_1^2\\{x_1} + {x_2} = 6\end{array} \right. \Rightarrow x_1^2 + {x_1} - 6 = 0 \Rightarrow {x_1} =  - 3 \Rightarrow {x_1} = 2.\)

  Với \({x_1} =  - 3 \Rightarrow {x_2} = 9\) thay vào \({x_1}{x_2} = m + 3 \Rightarrow m =  - 30\)(thỏa mãn)

  Với \({x_1} = 2 \Rightarrow {x_2} = 4\) thay vào \({x_1}{x_2} = m + 3 \Rightarrow m = 5\)(thỏa mãn)

Vậy \(m =  - 30;\)\(m = 5\)là giá trị cần tìm.

Xét phương trình :\({x^2} - 5x + m - 3 = 0\). Ta có:

\(\Delta  = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.1.\left( {m - 3} \right) = 37 - 4m\)

Để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\)thì

\(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\,(luon\,dung)\\37 - 4m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < \frac{{37}}{4}\).

Áp dụng hệ thức Viet ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right.\)

Vì \({x_1} + {x_2} = 5 \Rightarrow {x_2} = 5 - x\)

Ta có: \({x^2} - 5x + m - 3 = 0 \Leftrightarrow m - 3 = 5x - {x^2}\)

Mà \({x_1}\)là nghiệm của phương trình \({x^2} - 5x + m - 3 = 0\)nên \(m - 3 = 5{x_1} - x_1^2\). Ta có:

\(\begin{array}{l}x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + 3{x_2} = 1 \Leftrightarrow x_1^2 - 2\left( {m - 3} \right) + 3\left( {5 - {x_1}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2\left( {5{x_1} - x_1^2} \right) + 3\left( {5 - {x_1}} \right) = 1 \Leftrightarrow x_1^2 - 10{x_1} + 2x_1^2 + 15 - 3{x_1} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 3x_1^2 - 13{x_1} + 14 = 0 \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 2} \right)\left( {3{x_1} - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 2 \Rightarrow m - 3 = 5.2 - {2^2} \Leftrightarrow m = 9(tm)\\{x_1} = \frac{7}{3} \Rightarrow m - 1 = 5.\frac{7}{3} - {\left( {\frac{7}{3}} \right)^2} \Leftrightarrow m = \frac{{83}}{9}(tm)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = 9,m = \frac{{83}}{9}\)là các giá trị cần tìm .