Cho phương trình \({x^2} - 4x - {m^2} - 1 = 0\) . Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{\rm{ }}{x_2}\] phân biệt thỏa mãn\({x_2} = - 5{x_1}\) .

Có \(\Delta ' = {\left[ { - \left( {k - 1} \right)} \right]^2} - 1.\left( { - 4k} \right) = {\left( {k - 1} \right)^2} + 4k = {\left( {k + 1} \right)^2}\)

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{\rm{ }}{x_2}\] khi \(k \ne - 1\)

Theo định lý Viét, ta có \({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\) \( = 2k - 2\), \({x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - 4k\)

Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3{x_1} - {x_2} = 2\\{x_1} + {x_2} = 2k - 2\end{array} \right. \Rightarrow 4{x_1} = 2k \Rightarrow {x_1} = \frac{k}{2} \Rightarrow {x_2} = \frac{{3k - 4}}{2}.\)

Thay\({x_1} = \frac{k}{2} \Rightarrow {x_2} = \frac{{3k - 4}}{2}.\) vào \({x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\)\( = - 4k\) , ta được

\(\frac{k}{2} \cdot \frac{{3k - 4}}{2} = - 4k \Leftrightarrow 3{k^2} + 12k = 0 \Leftrightarrow k = 0,k = - 4\) (thỏa mãn).

Vậy \(k = 0,k = - 4\) là giá trị cần tìm.

Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow {\Delta ^\prime } = 1 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 1\)        (*)

Theo hệ thức Viète ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - 2}\\{{x_1}{x_2} = m}\end{array}} \right.\)

Kết hợp với giả thiết \(3{x_1} + 2{x_2} = 1\) ta có hệ : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{3{x_1} + 2{x_2} = 1\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\\{{x_1}{x_2} = m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)}\end{array}} \right.\)

Từ (1) và (2) giải ra ta được: \({x_1} = 5;\,\,{x_2} = - 7\).

Thay vào (3) ta được :\(m = - 35\)(thỏa (*)). Vậy \(m = - 35\).