Một cửa hàng xe dự định kinh doanh hai loại xe: xe máy điện và xe đạp điện với số vốn ban đầu không vượt quá 2 tỉ đồng. Giá mua vào một chiếc xe máy điện là 20 triệu đồng và một chiếc xe đạp điện là 10 triệu đồng. Khi bán ra thị trường, một chiếc xe máy điện lãi 3 triệu đồng, một chiếc xe đạp điện lãi 2 triệu đồng. Biết rằng theo khảo sát thì nhu cầu thị trường sẽ không vượt quá 120 xe cả hai loại. Để lợi nhuận đem về là lớn nhất thì cửa hàng cần đầu tư mỗi loại xe máy điện và xe đạp điện tương ứng là

Gọi \(x;y\) lần lượt là số chiếc xe loại \(A\) và xe loại \(B\) mà công ty cần thuê \(\left( {0 \le x \le 10;0 \le y \le 10} \right)\).

\(x\) chiếc xe loại \(A\) chở được tối đa \(20x\) người và \(0,8x\) tấn hàng.

\(y\) chiếc xe loại \(B\) chở được tối đa \(10y\) người và \(1,4y\) tấn hàng.

Theo bài ra ta có hệ bất phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}20x + 10y \ge 100\\0,8x + 1,4y \ge 8\\0 \le x \le 10\\0 \le y \le 10\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y \ge 10\\4x + 7y \ge 40\\0 \le x \le 10\\0 \le y \le 10\end{array} \right.\)\(\left( 1 \right)\).

Vẽ các đường thẳng \({d_1}:2x + y - 10 = 0\); \({d_2}:4x + 7y - 40 = 0\); \(x = 0\); \(x = 10\); \(y = 0\); \(y = 10\) trên cùng một hệ trục tọa độ.

Do tọa độ điểm \(M\left( {5\,;\,5} \right)\) thỏa mãn tất cả các bất phương trình của hệ bất phương trình \(\left( 1 \right)\) nên miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ lần lượt là những nửa mặt phẳng không bị tô màu chứa điểm \(M\)( kể cả đường thẳng tương ứng).

Phần không bị tô màu (chứa điểm \(M\)) là miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left( 1 \right)\)là tứ giác \(ABCD\) (kể cả biên và miền trong).

Khi đó chi phí mà công ty bỏ ra thuê xe là \(F\left( {x;y} \right) = 5x + 4y\) triệu đồng.

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh \(A\left( {0;10} \right),B\left( {10;10} \right),C\left( {10;0} \right);D\left( {3;4} \right)\).

Ta có: \(F\left( {0;10} \right) = 40,F\left( {10;10} \right) = 90,F\left( {10;0} \right) = 50\); \(F\left( {3;4} \right) = 31\).

Vậy hàm số \(F\left( {x;y} \right) = 5x + 4y\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 31 khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;4} \right)\).

Vẽ đường thẳng \(d\): \(2x - y = 3\).

Lấy điểm \(O\left( {0;0} \right)\), ta có: \(2.0 - 0 = 0 < 3\). Vậy miền nghiệm của bất phương trình \(2x - y < 3\) là nửa mặt phẳng không bị gạch ở hình trên chứa điểm \(O\left( {0;0} \right)\) không kể đường thẳng \(d\).