Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi M là trung điểm của BC. Từ M kẻ MH vuông góc với AB tại H; kẻ MK vuông góc với AC tại K.

(a) Chứng minh: Tứ giác AHMK là hình chữ nhật.

(b) Chứng minh: MH = KC và tứ giác CMHK là hình bình hành

(c) Trên tia đối của tia HM lấy điểm E sao cho H là trung điểm của ME. Gọi O là giao điểm của AM và HK. Chứng minh ba điểm E, O, C thẳng hàng

a) Xét tứ giác AHMK có \(\widehat {MHA} = \widehat {HAK} = \widehat {AKM} = 90^\circ \)

Suy ra AHMK là hình chữ nhật.

b) • Xét \[\Delta ABC\] có M là trung điểm của BC và MK // AB (vì cùng vuông góc với AC).

Suy ra AK = CK.

Mà AHMK là hình chữ nhật nên MH = AK.

Từ đó suy ra: MH = CK.

• Ta có \[MH \bot AB\] và \[AC \bot AB\] nên MH // AC (hay MH // KC).

Xét tứ giác CMHK có MH = CK, MH // CK.

Do đó, tứ giác CMHK là hình bình hành.

c) Ta có H là trung điểm của AB (vì MH // AC và M là trung điểm BC).

Xét tứ giác AMBE có hai đường chéo AB và ME cắt nhau tại trung điểm H của mỗi đường nên AMBE là hình bình hành.

Suy ra AE // BM và AE = BM.

Mà M là trung điểm BC nên BM = MC.

Do đó AE // MC và AE = MC.

Tứ giác AMCE có AE = MC và AE // MC nên AMCE là hình bình hành.

• Gọi O' là giao điểm của AM và EC.

Khi đó O' là trung điểm của AM.

Mà hình chữ nhật AHMK có O là giao điểm của hai đường chéo AM và HK nên O là trung điểm của AM.

Vì cả O và O' đều là trung điểm của AM nên O trùng với O'.

Vì O nằm trên đường chéo EC của hình bình hành AMCE nên ba điểm E, O, C thẳng hàng.

Bài 6: Tính giá trị của biểu thức:

\[M = {x^{10}}--2025{x^9} + 2025{x^8}--2025{x^7} + \ldots --2025{x^3} + 2025{x^2}--2025x + 2025\] với \[x = 2024.\]

Thay 2025 = x + 1 vào biểu thức M, ta có:

\(M = {x^{10}} - \left( {x + 1} \right){x^9} + \left( {x + 1} \right){x^8} - \left( {x + 1} \right){x^7}\)

\( + \ldots - \left( {x + 1} \right){x^3} + \left( {x + 1} \right){x^2} - \left( {x + 1} \right)x + 2025\)

\( = {x^{10}} - \left( {{x^{10}} + {x^9}} \right) + \left( {{x^9} + {x^8}} \right) - \left( {{x^8} + {x^7}} \right)\)

\( + \ldots - \left( {{x^4} + {x^3}} \right) + \left( {{x^3} + {x^2}} \right) - \left( {{x^2} + x} \right) + 2025\)

\( = {x^{10}} - {x^{10}} - {x^9} + {x^9} + {x^8} - {x^8} - {x^7} + \ldots - {x^4}\)

\( - {x^3} + {x^3} + {x^2} - {x^2} - x + 2025\).

\[ = - x + 2025\]

Thay x = 2024 vào biểu thức đã rút gọn:

M = −2024 + 2025 = 1.

Vậy giá trị của biểu thức M tại x = 2024 là 1.