1) Bạn Mai dự định gấp hộp quà có dạng hình chíp tam giác đều có độ dài cạnh đáy \(AC\) là \(18\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{,}}\) chiều cao \(SM\) của mỗi mặt bên (trung đoạn) là \(14\,\,{\rm{cm}}\) (như hình vẽ bên dưới).

Tính diện tích xung quanh của hộp đựng quà sau khi gấp xong và diện tích giấy cần để gấp hộp, biết rằng ngoài diện tích giấy ở tất cả các mặt còn phải tốn thêm \(20\% \) diện tích cho các mép giấy và các phần giấy bị bỏ đi.

2) Sau khi gấp xong, tính chiều cao \(SO\) của hình chóp tam giác đều biết \(O\) là trọng tâm của \(\Delta ABC.\)

1) Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC\).

Xét \(\Delta ABE\) vuông và \[\Delta ACD\] vuông ta có:

\(AB = AC\) (cmt); \(\widehat {A\,}\) chung

\( \Rightarrow \Delta ABE = \Delta ACD\) (cạnh huyền – góc nhọn)

\( \Rightarrow BE = CD\) (hai cạnh tương ứng)

2) Vì \[\Delta ADC = \Delta AEB\] (cmt) nên \(AD = AE\) (hai cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow \Delta ADE\) cân tại \(A\) \( \Rightarrow \widehat {ADE} = \widehat {AED}\) (tính chất tam giác cân)

Xét \(\Delta ADE\) ta có:

\(\widehat A + \widehat {ADE} + \widehat {AED} = 180^\circ \) (tổng góc)

\(\widehat A + \widehat {ADE} + \widehat {ADE} = 180^\circ \)

\(\widehat A + 2\widehat {ADE} = 180^\circ \)

\(\widehat {ADE} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}\) \(\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta ABC\) ta có:

\(\widehat A + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (tổng góc)

\(\widehat A + \widehat {ABC} + \widehat {ABC} = 180^\circ \)

\(\widehat A + 2\widehat {ABC} = 180^\circ \)

\(\widehat {ABC} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\).

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(DE\)//\(BC\) \( \Rightarrow \) Tứ giác \(DECB\) là hình thang.

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (tính chất tam giác cân)

Vây tứ giác \(DECB\) là hình thang cân.

3) Để \(I\) cách đều \(3\) cạnh của \(\Delta ABC\)

Khi \(I\) là giao điểm của ba đường phân giác

Xét \(\Delta ABC\) có \(BE\) vừa là đường cao, \(BE\) vừa là đường phân giác

\( \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại \(B\)\( \Rightarrow BA = BC\) (tính chất tam giác cân)

Mà \(AB = AC\) (cmt) \( \Rightarrow AB = AC = BC\) \( \Rightarrow \Delta ABC\) đều.

Ta có: \(\Delta ABC\) đều, \(BE\) là đường cao

\( \Rightarrow BE\) là đường trung tuyến nên \(E\) là trung điểm của \(AC\)\( \Rightarrow EC = \frac{1}{2}AC\).

Xét \(\Delta ABC\) đều có \(CD\) là đường cao (gt)

\( \Rightarrow CD\) là đường trung tuyến\( \Rightarrow D\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow BD = \frac{1}{2}AB\).

Xét \(\Delta ABC\) đều có \(E\) là trung điểm \(AC\) (cmt); \(D\) là trung điểm \(AB\) (cmt)

\( \Rightarrow DE\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)\( \Rightarrow DE = \frac{1}{2}BC\)

Ta có: \(EC = \frac{1}{2}AC\) (cmt); \(BD = \frac{1}{2}AB\) (cmt)

Mà \(AB = BC = AC\)\( \Rightarrow DE = EC = BD\) (đpcm).

Số kết quả có thể xảy ra khi gieo ngẫu nhiên con xúc xắc một lần là: \(6\). Bao gồm: mặt 1 chấm, mặt 2 chấm, mặt 3 chấm, mặt 4 chấm, mặt 5 chấm, mặt 6 chấm.

Số kết quả thuận lợi của biến cố mặt xuất hiện của xúc xắc là số chẵn là: \(3\). Bao gồm: mặt 2 chấm, mặt 4 chấm, mặt 6 chấm.

Xác suất của biến cố mặt xuất hiện của xúc xắc là số chẵn là: \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)