Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \[A\]. Gọi \[M\] là một điểm trên cạnh \[BC\] (\[M\]khác \[B\] và\[C\]). Từ \[M\] kẻ \[MD\] vuông góc \[AB\] tại \[D\], \[ME\] vuông góc \[AC\] tại \[E\].

(a) Tứ giác \[ADME\] là hình gì? Vì sao?

(b) Lấy điểm \[I\] sao cho \[A\] là trung điểm của \[ID\]. Chứng minh tứ giác \[AIEM\] là hình bình hành.

(c) Lấy điểm \[K\] sao cho \[M\] là trung điểm của \[EK.\] Chứng minh ba đường thẳng \[IK,DE,AM\] cùng đi qua một điểm.

a) Tứ giác \[ADME\] là hình gì? Vì sao?

Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \[A\] nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {DAE} = 90^\circ .\)

Vì \[MD\] vuông góc \[AB\] tại \[D\] nên \(\widehat {MDA} = 90^\circ .\)

\[ME\] vuông góc \[AC\] tại \[E\] nên \(\widehat {MEA} = 90^\circ .\)

• Xét tứ giác \[ADME\] có: \(\widehat {DAE} = \widehat {MDA} = \widehat {MEA} = 90^\circ \) nên tứ giác \[ADME\] là hình chữ nhật.

b) Lấy điểm \[I\] sao cho \[A\] là trung điểm của \[ID\]. Chứng minh tứ giác \[AIEM\] là hình bình hành.

Ta có \(\widehat {DAE} + \widehat {EAI} = 180^\circ \) (hai góc kề bù).

Mà \(\widehat {DAE} = \widehat {BAC} = 90^\circ \) nên \(\widehat {EAI} = 180^\circ - \widehat {DAE} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ .\)

Suy ra \(\widehat {DAE} = \widehat {EAI} = 90^\circ .\)

Vì \[A\] là trung điểm của \[ID\] nên \(AI = AD.\)

• Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta AIE\) có: \[AE\]chung, \(\widehat {DAE} = \widehat {EAI} = 90^\circ \), \(AI = AD\).

Vậy \(\Delta ADE\)=\(\Delta AIE\)(c.g.c) suy ra \(DE = EI\) (hai cạnh tương ứng).

Vì tứ giác \[ADME\] là hình chữ nhật (câu a) nên \(DE = AM\)và \(AD = ME\)(tính chất hình chữ nhật)

Ta có \(DE = EI\), \(DE = AM\)(cmt) nên \(EI = AM.\)

\(AD = ME\), \(AI = AD\)(cmt) nên \(ME = AI.\)

Cách 1: Xét tứ giác \[AIEM\]có: \(EI = AM\), \(ME = AI\) nên tứ giác \[AIEM\]là hình bình hành (dhnb)

Cách 2: Ta có: \[AI\;{\rm{//}}\;ME\;\left( { \bot AC} \right)\,;\,\,AI = ME\;\left( { = AD} \right)\] nên tứ giác \[AIEM\]là hình bình hành (dhnb)

c) Lấy điểm \[K\] sao cho \[M\] là trung điểm của \[EK\]. Chứng minh ba đường thẳng \[IK,DE,AM\]cùng đi qua một điểm.

Gọi \[O\] là giao điểm của \[DE\] và \[AM\] mà tứ giác \[ADME\] là hình chữ nhật (cmt)

nên \[O\] là trung điểm của \[AM\]và\[DE\]. (1)

Vì \[M\] là trung điểm của \[EK\]nên \(KE = 2ME.\)

Vì \[A\] là trung điểm của \[DI\]nên \(DI = 2DA.\)

Mà \(AD = ME\), suy ra \(EK = DI.\)

Vì \[ADME\] là hình chữ nhật (cmt) nên \[DA\,{\rm{//}}\,ME\]hay\[DI\,{\rm{//}}\,KE\].

Xét tứ giác \[DIEK\]có: \(EK = DI,DI\,{\rm{//}}\,KE\) (cmt) nên tứ giác \[DIEK\] là hình bình hành.

Suy ra hai đường chéo \[DE\]và \[IK\]cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \[O\] là trung điểm của \[DE\](cmt)

Do đó, \[O\] là trung điểm của\[IK\]. (2)

Từ (1), (2) suy ra \[IK,DE,AM\] cùng đi qua một điểm.