Cho 3 số \[x,{\rm{ }}y,{\rm{ }}z\] thoả mãn: \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2y - 4z + 6 = 0.\) Tính giá trị biểu thức:

\(M = {\left( {x + 1} \right)^{2022}} + {y^{2023}} + {\left( {z - 1} \right)^{2024}}.\)

Một mảnh vườn hình vuông có cạnh 10m được mở rộng cả hai bên thêm \[x\] (m) như hình bên. Viết biểu thức (dạng đa thức thu gọn) biểu thị:

(a) Diện tích của mảnh vườn sau khi mở rộng.

(b) Tính diện tích của mảnh vườn sau khi mở rộng nếu \(x = 4(m).\)

Rút gọn biểu thức: \[2x\left( {{x^2} - 2x{y^3}} \right) - \left( {2{x^3} - {x^2}{y^3}} \right)\]

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \[A\]. Gọi \[M\] là một điểm trên cạnh \[BC\] (\[M\]khác \[B\] và\[C\]). Từ \[M\] kẻ \[MD\] vuông góc \[AB\] tại \[D\], \[ME\] vuông góc \[AC\] tại \[E\].

(a) Tứ giác \[ADME\] là hình gì? Vì sao?

(b) Lấy điểm \[I\] sao cho \[A\] là trung điểm của \[ID\]. Chứng minh tứ giác \[AIEM\] là hình bình hành.

(c) Lấy điểm \[K\] sao cho \[M\] là trung điểm của \[EK.\] Chứng minh ba đường thẳng \[IK,DE,AM\] cùng đi qua một điểm.

Tìm \[x\] biết:

(a) \[4x\left( {x - 3} \right) - 4{x^2} + 1 = 9\]

(b) \[\left( {2x - 5} \right)\left( {3x + 4} \right) - 6x\left( {x - 3} \right) = 5x\].

(c) \[{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {x - 7} \right)^2} = x\left( {2x - 5} \right)\].

Rút gọn biểu thức sau:

(a) \[5{x^2}{y^4}.\left( {\frac{{ - 1}}{{20}}x{y^3}} \right)\]

(b) \[\left( {{x^3}y + 4{x^2}{y^2} - 5{x^2}{y^3}} \right):xy - x\left( {x - 4{y^2}} \right)\].

(c) \[{\left( {x + 1} \right)^2} - \left( {2x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) + \left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)\].

Tìm \[x\] trong hình vẽ sau: