Nhà bạn An (vị trí \(A\)) cách nhà bạn Bảo (vị trí \(B)\) \(280m\) và cách nhà bạn Cảnh (vị trí \(C\)) \(450m\). Biết vị trí nhà của 3 bạn là các đỉnh của tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) (như hình vẽ bên). Hỏi khoảng cách từ nhà bạn Bảo đến nhà bạn Cảnh là bao nhiêu?

a) Chứng minh tứ giác \[AMHN\]là hình chữ nhật.

Ta có: \[HM \bot AB,HN \bot AC\]\[\left( {M \in AB,N \in AC} \right)\]

Suy ra \[\widehat {HMA} = 90^\circ \,;\,\,\widehat {HNA} = 90^\circ \]

Vì \[\Delta ABC\] vuông tại A nên \[\widehat {BAC} = 90^\circ \]

Xét tứ giác \[AMHN\]có: \[\widehat {HMA} = \widehat {HNA} = \widehat {BAC} = 90^\circ \]

Suy ra tứ giác \[AMHN\] là hình chữ nhật.

b) Trên tia đối của tia \[MH\] lấy điểm D sao cho \[MD = MH\]. Chứng minh \[AN = DM\] và tứ giác \[ADMN\]là hình bình hành.

Vì \[AMHN\]là hình chữ nhật nên \[MH = AN\]và \[MH\,{\rm{//}}\,AN\] (theo tính chất)

Mà \[MD = MH\] (theo giả thiết) nên \[DM = AN\].

Ta có: \[MH\,{\rm{//}}\,AN\] mà \[D \in MH\]nên \[DH\,{\rm{//}}\,AN\]hay \[MD\,{\rm{//}}\,AN\].

Xét tứ giác \[ADMN\] có: \[DM = AN\] (cmt); \[MD\,{\rm{//}}\,AN\] (cmt).

Suy ra tứ giác \[ADMN\] là hình bình hành.

c) Lấy điểm \[E\]sao cho \[N\]là trung điểm của \[HE\]. Tứ giác \[MNED\] là hình gì?

Chứng minh tương tự: tứ giác \[AMNE\] là hình bình hành.

Suy ra: \[AE\,{\rm{//}}\,MN\] (theo tính chất) (1).

Vì\[ADMN\] là hình bình hành nên \[AD\,{\rm{//}}\,MN\](theo tính chất) (2).

Từ (1), (2) suy ra \[D,A,E\] thẳng hàng và \[DE\,{\rm{//}}\,MN\].

Xét tứ giác \[MNED\] có \[DE\,{\rm{//}}\,MN\] (cmt)

Suy ra \[MNED\] là hình thang.