Một mái che giếng trời có dạng hình chóp tứ giác đều với độ dài cạnh đáy là \(2,5\)m và độ dài trung đoạn là \(2\)m.

(a) Tính diện tích xung quanh của mái che giếng trời đó?

(b) Tính số tiền để làm mái che giếng trời đó? Biết rằng giá để làm mỗi mét vuông mái che là \(2{\rm{ }}000{\rm{ }}000\)đồng (bao gồm cả tiền vật liệu và tiền công).

a) Chứng minh tứ giác \[AMHN\]là hình chữ nhật.

Ta có: \[HM \bot AB,HN \bot AC\]\[\left( {M \in AB,N \in AC} \right)\]

Suy ra \[\widehat {HMA} = 90^\circ \,;\,\,\widehat {HNA} = 90^\circ \]

Vì \[\Delta ABC\] vuông tại A nên \[\widehat {BAC} = 90^\circ \]

Xét tứ giác \[AMHN\]có: \[\widehat {HMA} = \widehat {HNA} = \widehat {BAC} = 90^\circ \]

Suy ra tứ giác \[AMHN\] là hình chữ nhật.

b) Trên tia đối của tia \[MH\] lấy điểm D sao cho \[MD = MH\]. Chứng minh \[AN = DM\] và tứ giác \[ADMN\]là hình bình hành.

Vì \[AMHN\]là hình chữ nhật nên \[MH = AN\]và \[MH\,{\rm{//}}\,AN\] (theo tính chất)

Mà \[MD = MH\] (theo giả thiết) nên \[DM = AN\].

Ta có: \[MH\,{\rm{//}}\,AN\] mà \[D \in MH\]nên \[DH\,{\rm{//}}\,AN\]hay \[MD\,{\rm{//}}\,AN\].

Xét tứ giác \[ADMN\] có: \[DM = AN\] (cmt); \[MD\,{\rm{//}}\,AN\] (cmt).

Suy ra tứ giác \[ADMN\] là hình bình hành.

c) Lấy điểm \[E\]sao cho \[N\]là trung điểm của \[HE\]. Tứ giác \[MNED\] là hình gì?

Chứng minh tương tự: tứ giác \[AMNE\] là hình bình hành.

Suy ra: \[AE\,{\rm{//}}\,MN\] (theo tính chất) (1).

Vì\[ADMN\] là hình bình hành nên \[AD\,{\rm{//}}\,MN\](theo tính chất) (2).

Từ (1), (2) suy ra \[D,A,E\] thẳng hàng và \[DE\,{\rm{//}}\,MN\].

Xét tứ giác \[MNED\] có \[DE\,{\rm{//}}\,MN\] (cmt)

Suy ra \[MNED\] là hình thang.