Cho hai biểu thức:

\(A = \frac{{5x}}{{x + 1}}\) và \(B = \frac{x}{{x - 1}} + \frac{3}{{x + 1}} + \frac{{6x - 4}}{{1 - {x^2}}}\) với \(x \ne 1\,;\,\,x \ne  - 1.\)

1) Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 2.\)

2) Rút gọn biểu thức \(B.\)

3) Đặt \(P = A:B.\) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của \(x\) để \(P\) nhận giá trị là số nguyên.

Hướng dẫn giải

1) Thể tích phần trên của đèn cắm đất hình kim tự tháp đó là:

\(V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot {120^2} \cdot \left( {200 - 130} \right) = 336\,\,000\,\,\left( {{\rm{m}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)

Vậy thể tích phần trên của đèn cắm đất hình kim tự tháp là \(336\,\,000\,\,{\rm{m}}{{\rm{m}}^3}.\)

2) a) Xét tứ giác \(ABEM\) có: \(HE = AH\) (gt); \(HB = HM\) (\(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BM)\). Suy ra hai đường chéo \(AE\) và \(BM\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên \(ABEM\) là hình bình hành. Hình bình hành \(ABEM\) có \(AE \bot BM\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)) Do đó, tứ giác \(ABEM\) là hình thoi.

b) Vì \(ABEM\) là hình thoi nên \(EM\,{\rm{//}}\,AB\) hay \(EN\,{\rm{//}}\,AB.\)

Mà \(AB\; \bot AC\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)) nên \(EN \bot AC\)

Xét \(\Delta AEC\) có \(CH \bot AB\,;\,\,EN \bot AC\) mà \(EN\) và \(CH\) cắt nhau tại \(M\).

Do đó \(M\) là trực tâm của \(\Delta AEC.\)

c) Lấy \(F\) là trung điểm của \(MC.\) Chứng minh \(H{F^2} = H{N^2} + N{F^2}.\)

Xét \({\rm{\Delta }}MNC\) vuông tại \(N\) (vì \(EN\; \bot AC\) tại \(N\)) có \(F\) là trung điểm của cạnh huyền \(MC\) nên

\(NF = \frac{1}{2}MC = FC = MF\).

Suy ra \({\rm{\Delta }}NFC\) cân tại \(F\) nên \(\widehat {FNC} = \widehat {FCN}\).                   (1)

Xét \({\rm{\Delta }}AEN\) vuông tại \(N\) có \(H\) là trung điểm của cạnh huyền \(AE\) nên \(HN = \frac{1}{2}AE = HA = HE.\)

Suy ra \({\rm{\Delta }}AHN\) cân tại \(H\) nên \(\widehat {HNA} = \widehat {HAN}\).                  (2)

Vì \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\) (cmt) nên \(\widehat {HAC} + \widehat {HCA} = 90^\circ \) hay \(\widehat {HAN} + \widehat {FCN} = 90^\circ .\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {HAN} + \widehat {FCN} = \widehat {HNA} + \widehat {FNC} = 90^\circ \).

Khi đó \(\widehat {HNF} = 180^\circ  - \left( {\widehat {HNA} + \widehat {FNC}} \right) = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ \) nên \(\Delta HNF\) vuông tại \(N.\)

Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta HNF\) vuông tại \(N,\) ta có: \(H{F^2} = H{N^2} + N{F^2}\) (đpcm).

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) (nghìn đồng) là giá thuê một phòng của khách sạn sau khi tăng \(\left( {x > 400} \right).\)

Khi đó, giá mỗi phòng tăng thêm là \(x - 400\) (nghìn đồng).

Số phòng trống sau khi khách sạn tăng giá phòng là: \(\frac{{x - 400}}{{10}}\) (phòng).

Số phòng khách sạn cho thuê được với giá \(x\) (nghìn đồng) là: \(50 - \frac{{x - 400}}{{10}} = 90 - \frac{x}{{10}}\) (phòng).

Tổng doanh thu trong một ngày của khách sạn là:

\(T = x\left( {90 - \frac{x}{{10}}} \right) = \frac{{ - {x^2}}}{{10}} + 90x\) (nghìn đồng).

Ta có \(T = \frac{{ - {x^2}}}{{10}} + 90x = \frac{1}{{10}}\left( { - {x^2} + 900x} \right)\)

\( = \frac{1}{{10}}\left( { - {x^2} + 900x - 202\,\,500 + 202\,\,500} \right)\)

\( = \frac{{ - 1}}{{10}}{\left( {x - 450} \right)^2} + 20\,\,250\)

Vì \({\left( {x - 450} \right)^2} \ge 0\) nên \(\frac{{ - 1}}{{10}}{\left( {x - 450} \right)^2} \le 0\), suy ra \(T = \frac{{ - 1}}{{10}}{\left( {x - 450} \right)^2} + 20\,\,250 \le 20\,\,250.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x - 450 = 0\) hay \(x = 450.\)

Vậy giá cho thuê phòng là 450 nghìn đồng một ngày thì khách sạn sẽ đạt doanh thu lớn nhất là 2050 nghìn đồng (hay \(20\,\,250\,\,000\) đồng).