1) Đèn cắm đất hình kim tự tháp là một loại đèn được thiết kế bắt mắt giúp không gian nhà ở trở nên trang trọng và nổi bật hơn. Phần trên của đèn được thiết kế có dạng một hình chóp tứ giác đều có đáy là \(120\,\,{\rm{mm}},\) chiều cao của đèn cắm đất là \(200\,\,{\rm{mm}}{\rm{.}}\) Phần dưới của đèn cắm đất dài \(130\,\,{\rm{mm}}\)(như hình vẽ minh họa). Tính thể tích phần trên của đèn cắm đất hình kim tự tháp đó.

2) Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\,\,AB < AC,\) đường cao \(AH.\) Lấy \(M\) thuộc \(BC\) sao cho \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BM.\) Lấy \(E\) thuộc tia đối của tia \(HA\) sao cho \(HE = AH.\)

a) Tứ giác \(ABEM\) là hình gì? Vì sao?

b) Gọi \(N\) là giao điểm của \(EM\) và \(AC.\) Chứng minh \(M\) là trực tâm của \(\Delta AEC.\)

c) Lấy \(F\) là trung điểm của \(MC.\) Chứng minh \(H{F^2} = H{N^2} + N{F^2}.\)

Hướng dẫn giải

1) Với \(x = 2\) (TMĐK), thay \(x = 2\) vào biểu thức \(A\), ta được:

\[A = \frac{{5 \cdot 2}}{{2 + 1}} = \frac{{10}}{3}.\]

Vậy khi \(x = 2\) thì \[A = \frac{{10}}{3}.\]

2) Với \(x \ne 1\,;\,\,x \ne  - 1,\) ta có:

\(B = \frac{x}{{x - 1}} + \frac{3}{{x + 1}} + \frac{{6x - 4}}{{1 - {x^2}}}\)

\( = \frac{x}{{x - 1}} + \frac{3}{{x + 1}} - \frac{{6x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x\left( {x + 1} \right) + 3\left( {x - 1} \right) - \left( {6x - 4} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 3x - 3 - 6x + 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)
\[ = \frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}.\]

Vậy với \(x \ne 1\,;\,\,x \ne  - 1\) thì \[B = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}.\]

3) Ta có \(P = A:B = \frac{{5x}}{{x + 1}}:\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{5x}}{{x - 1}} = \frac{{5x - 5 + 5}}{{x - 1}} = 5 + \frac{5}{{x - 1}}\,\,\left( {x \ne  - 1\,;\,\,x \ne 1} \right).\)

Để \(P\) nhận giá trị là số nguyên thì \(5 + \frac{5}{{x - 1}}\) nhận giá trị là số nguyên.

Suy ra \(\frac{5}{{x - 1}} \in \mathbb{Z}\) nên \(x - 1 \in \)Ư\(\left( 5 \right) = \left\{ { - 5\,;\,\, - 1\,;\,\,1\,;\,\,5} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

Khi đó \(x \in \left\{ { - 4\,;\,\,0\,;\,\,2\,;\,\,6} \right\}.\)

Mà \(x\) là giá trị nguyên lớn nhất nên \(x = 6.\)

Vậy giá trị nguyên lớn nhất của \(x\) để \(P\) nhận giá trị là số nguyên là \(x = 6.\)

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) (nghìn đồng) là giá thuê một phòng của khách sạn sau khi tăng \(\left( {x > 400} \right).\)

Khi đó, giá mỗi phòng tăng thêm là \(x - 400\) (nghìn đồng).

Số phòng trống sau khi khách sạn tăng giá phòng là: \(\frac{{x - 400}}{{10}}\) (phòng).

Số phòng khách sạn cho thuê được với giá \(x\) (nghìn đồng) là: \(50 - \frac{{x - 400}}{{10}} = 90 - \frac{x}{{10}}\) (phòng).

Tổng doanh thu trong một ngày của khách sạn là:

\(T = x\left( {90 - \frac{x}{{10}}} \right) = \frac{{ - {x^2}}}{{10}} + 90x\) (nghìn đồng).

Ta có \(T = \frac{{ - {x^2}}}{{10}} + 90x = \frac{1}{{10}}\left( { - {x^2} + 900x} \right)\)

\( = \frac{1}{{10}}\left( { - {x^2} + 900x - 202\,\,500 + 202\,\,500} \right)\)

\( = \frac{{ - 1}}{{10}}{\left( {x - 450} \right)^2} + 20\,\,250\)

Vì \({\left( {x - 450} \right)^2} \ge 0\) nên \(\frac{{ - 1}}{{10}}{\left( {x - 450} \right)^2} \le 0\), suy ra \(T = \frac{{ - 1}}{{10}}{\left( {x - 450} \right)^2} + 20\,\,250 \le 20\,\,250.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x - 450 = 0\) hay \(x = 450.\)

Vậy giá cho thuê phòng là 450 nghìn đồng một ngày thì khách sạn sẽ đạt doanh thu lớn nhất là 2050 nghìn đồng (hay \(20\,\,250\,\,000\) đồng).