1) Đèn cắm đất hình kim tự tháp là một loại đèn được thiết kế bắt mắt giúp không gian nhà ở trở nên trang trọng và nổi bật hơn. Phần trên của đèn được thiết kế có dạng một hình chóp tứ giác đều có đáy là \(120\,\,{\rm{mm}},\) chiều cao của đèn cắm đất là \(200\,\,{\rm{mm}}{\rm{.}}\) Phần dưới của đèn cắm đất dài \(130\,\,{\rm{mm}}\)(như hình vẽ minh họa). Tính thể tích phần trên của đèn cắm đất hình kim tự tháp đó.

2) Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\,\,AB < AC,\) đường cao \(AH.\) Lấy \(M\) thuộc \(BC\) sao cho \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BM.\) Lấy \(E\) thuộc tia đối của tia \(HA\) sao cho \(HE = AH.\)

a) Tứ giác \(ABEM\) là hình gì? Vì sao?

b) Gọi \(N\) là giao điểm của \(EM\) và \(AC.\) Chứng minh \(M\) là trực tâm của \(\Delta AEC.\)

c) Lấy \(F\) là trung điểm của \(MC.\) Chứng minh \(H{F^2} = H{N^2} + N{F^2}.\)

Hướng dẫn giải

1) Thể tích phần trên của đèn cắm đất hình kim tự tháp đó là:

\(V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot {120^2} \cdot \left( {200 - 130} \right) = 336\,\,000\,\,\left( {{\rm{m}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)

Vậy thể tích phần trên của đèn cắm đất hình kim tự tháp là \(336\,\,000\,\,{\rm{m}}{{\rm{m}}^3}.\)

2) a) Xét tứ giác \(ABEM\) có: \(HE = AH\) (gt); \(HB = HM\) (\(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BM)\). Suy ra hai đường chéo \(AE\) và \(BM\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên \(ABEM\) là hình bình hành. Hình bình hành \(ABEM\) có \(AE \bot BM\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)) Do đó, tứ giác \(ABEM\) là hình thoi.

b) Vì \(ABEM\) là hình thoi nên \(EM\,{\rm{//}}\,AB\) hay \(EN\,{\rm{//}}\,AB.\)

Mà \(AB\; \bot AC\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)) nên \(EN \bot AC\)

Xét \(\Delta AEC\) có \(CH \bot AB\,;\,\,EN \bot AC\) mà \(EN\) và \(CH\) cắt nhau tại \(M\).

Do đó \(M\) là trực tâm của \(\Delta AEC.\)

c) Lấy \(F\) là trung điểm của \(MC.\) Chứng minh \(H{F^2} = H{N^2} + N{F^2}.\)

Xét \({\rm{\Delta }}MNC\) vuông tại \(N\) (vì \(EN\; \bot AC\) tại \(N\)) có \(F\) là trung điểm của cạnh huyền \(MC\) nên

\(NF = \frac{1}{2}MC = FC = MF\).

Suy ra \({\rm{\Delta }}NFC\) cân tại \(F\) nên \(\widehat {FNC} = \widehat {FCN}\).                   (1)

Xét \({\rm{\Delta }}AEN\) vuông tại \(N\) có \(H\) là trung điểm của cạnh huyền \(AE\) nên \(HN = \frac{1}{2}AE = HA = HE.\)

Suy ra \({\rm{\Delta }}AHN\) cân tại \(H\) nên \(\widehat {HNA} = \widehat {HAN}\).                  (2)

Vì \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\) (cmt) nên \(\widehat {HAC} + \widehat {HCA} = 90^\circ \) hay \(\widehat {HAN} + \widehat {FCN} = 90^\circ .\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {HAN} + \widehat {FCN} = \widehat {HNA} + \widehat {FNC} = 90^\circ \).

Khi đó \(\widehat {HNF} = 180^\circ  - \left( {\widehat {HNA} + \widehat {FNC}} \right) = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ \) nên \(\Delta HNF\) vuông tại \(N.\)

Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta HNF\) vuông tại \(N,\) ta có: \(H{F^2} = H{N^2} + N{F^2}\) (đpcm).