Trong đợt bão, một cái cây đã bị gãy ngang thân (xem hình vẽ bên dưới), ngọn cây chạm đất cách gốc \[2,2m\] và chiều cao từ gốc cây đến chỗ cây bị gãy \[3,1m\]. Em hãy tính chiều cao (từ gốc đến ngọn) của cây đó (làm tròn đến hàng phần mười).

a) Độ dài của cạnh \[AC\] là: \[AC = BC = 6cm\]

Độ dài chiều cao của hình chóp là \[SO = 10cm\]

b) Xét \(\Delta ABC\) có \(CH\) là đường trung tuyến nên \(CH \bot AB\)

Suy ra \(HB = \frac{{AB}}{2} = \frac{6}{2} = 3\,\,({\rm{cm)}}\).

Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta CHB\) vuông tại \(H\), ta có:

\(C{H^2} = B{C^2} - H{B^2}\)\( = 36 - 9 = 27\) suy ra \(CH = \sqrt {27} {\rm{cm}}\).

Diện tích \(\Delta ABC\) là \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt {27} = 3\sqrt {27} \,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]

Thể tích của hình chóp \(S. ABC\) là: \[S = \frac{1}{3}. {S_{ABC}} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt {27} \cdot 10 = 10\sqrt {27} \, \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\]

\(A = 5 + 4xy - 10y - {x^2} - 8{y^2} - 2x\)

\( = - \left( {{x^2} - 4xy + 4{y^2}} \right) - 4{y^2} - 2x - 10y + 5\)

\[ = - {(x - 2y)^2} - 4{y^2} - 2x - 10y + 5\]

Đặt \(u = x - 2y\) nên \(x = u + 2y\), thay vào biểu thức:

\(A = - {(u + 1)^2} - 4{\left( {y + \frac{7}{4}} \right)^2} + \frac{{73}}{4}\)

Vì \( - {(u + 1)^2} \le 0\) và \( - 4{\left( {y + \frac{7}{4}} \right)^2} \le 0\), nên giá trị lớn nhất của \(A\) đạt được khi:

• \(u + 1 = 0\) nên \[x - 2y + 1 = 0\]

• \[y + \frac{7}{4} = 0\] nên \[y = - \frac{7}{4}\]

Thay \(y = - \frac{7}{4}\) vào \(x = 2y - 1\) : \(x = 2\left( { - \frac{7}{4}} \right) - 1 = - \frac{7}{2} - 1 = - \frac{9}{2}\)

Khi đó \({A_{{\rm{max}}}} = \frac{{73}}{4}\) khi \(x = - \frac{9}{2},{\rm{\;}}y = - \frac{7}{4}\).