Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(A = 5 + 4xy - 10y - {x^2} - 8{y^2} - 2x\).

a) Độ dài của cạnh \[AC\] là: \[AC = BC = 6cm\]

Độ dài chiều cao của hình chóp là \[SO = 10cm\]

b) Xét \(\Delta ABC\) có \(CH\) là đường trung tuyến nên \(CH \bot AB\)

Suy ra \(HB = \frac{{AB}}{2} = \frac{6}{2} = 3\,\,({\rm{cm)}}\).

Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta CHB\) vuông tại \(H\), ta có:

\(C{H^2} = B{C^2} - H{B^2}\)\( = 36 - 9 = 27\) suy ra \(CH = \sqrt {27} {\rm{cm}}\).

Diện tích \(\Delta ABC\) là \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt {27} = 3\sqrt {27} \,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]

Thể tích của hình chóp \(S. ABC\) là: \[S = \frac{1}{3}. {S_{ABC}} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt {27} \cdot 10 = 10\sqrt {27} \, \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\]

Vì \(D\,E\,{\rm{//}}\,BC\) nên tứ giác \[BDEC\] là hình thang

Hình thang \[BDEC\] có \[\widehat {CBD} = \widehat {BCE}\] (\[\Delta ABC\] cân tại A) nên tứ giác \[BDEC\] là hình thang cân.

Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Suy ra A nằm trên đường trung trực của BC. (1)

Tam giác ABC cân tại A có AH là đường cao nên AH cũng là đường trung tuyến hay BH = CH.

Xét \[\Delta OBC\] có OH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên \[\Delta OBC\] cân tại O.

Suy ra \[OB = OC\] hay O nằm trên đường trung trực của BC. (2)

Từ (1), (2) suy ra \[AO\] là đường trung trực của \(BC\).

Do đó \[AO\] vuông góc với \(BC\).