Biết \[{x_1},\,{x_2}({x_1} > {x_2})\] là hai nghiệm của phương trình \[{\log _3}\left( {\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{3x}}} \right) + {x^2} + 2 = 3x\] và \[4{x_1} + 2{x_2} = a + \sqrt b \], với \[a,\,b\] là hai số nguyên dương. Tính \[a + b\]

A. \[a + b = 9\].

B. \[a + b = 12\].

C. \[a + b = 7\].

D. \[a + b = 14\].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử ĐGNL Đại học Khoa học và Công nghệ Hà Nội năm 2026 - Đề số 5 !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Điều kiện $\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{3x}} > 0$$ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{3x}} > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\end{array} \right.$.

Ta có \[{\log _3}\left( {\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{3x}}} \right) + {x^2} + 2 = 3x\]\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - {\log _3}3x + {x^2} + 2 = 3x\]

\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - {\log _3}x + {x^2} + 1 = 3x\]\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + {x^2} - 2x + 1 = {\log _3}x + x\].

Xét hàm số $f\left( t \right) = {\log _3}t + t$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

Ta có $f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)$.

Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

Do đó $f\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = f\left( x \right)$$ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = x$$ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.$.

Vậy $4{x_1} + 2{x_2} = 9 + \sqrt 5 \Rightarrow a = 9;b = 5$. Do đó $a + b = 14$. Chọn D.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một công ty sản xuất mỹ phẩm ước tính chi phí để sản xuất \[x\] (sản phẩm) là\[C\left( x \right) = 300x + 50\] (nghìn đồng). Khi đó \[f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\] là chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm. Hỏi chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm không thấp hơn bao nhiêu nghìn đồng?

A. $100$.

B. \[200\].

C. $300$.

D. $400$.

Lời giải

Ta có: \[f\left( x \right) = \frac{{300x + 50}}{x},x \in {\mathbb{N}^*} \Leftrightarrow f\left( x \right) = 300 + \frac{{50}}{x}\].

Thấy $f'\left( x \right) = - \frac{{50}}{{{x^2}}} < 0,\forall x \ne 0 \Rightarrow $ Hàm số \[f\left( x \right)\] luôn nghịch biến (giảm) trên mỗi khoảng xác định.

Do đó chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm sẽ giảm khi số lượng sản phẩm tăng.

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {300 + \frac{{50}}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 300 + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{50}}{x} = 300\].

Do đó chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm không thấp hơn 300 (nghìn đồng). Chọn C.

Câu 2

Cho hình chóp tứ giác đều \[\left( {ABCD} \right),\] có cạnh đáy bằng \[a\] và chiều cao bằng $a\sqrt 2 $. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt bên $\left( {SCD} \right)$.

A. $\frac{{2a\sqrt 2 }}{3}$.

B. \[\frac{{a\sqrt {10} }}{5}\].

C. $\frac{{a\sqrt 2 }}{3}$.

D.$\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Lời giải

$Gọi $M$là trung điểm của \(C (ảnh 1)$

Gọi $M$là trung điểm của $CD$, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Hạ $OH \bot SM$ (1).

Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$ $ \Rightarrow SO \bot CD$.

Khi đó $OM \bot CD$ và $SO \bot CD$ nên $CD \bot \left( {SOM} \right)$$ \Rightarrow CD \bot OH$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra $OH \bot \left( {SCD} \right)$.

Khi đó $d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH$.

Xét $\Delta SOM$vuông tại $O$ có $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{9}{{2{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}$.

Lại có $\frac{{d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{AC}}{{OC}} = 2 \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{2a\sqrt 2 }}{3}$. Chọn A.

Câu 3