Biết \[{x_1},\,{x_2}({x_1} > {x_2})\] là hai nghiệm của phương trình \[{\log _3}\left( {\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{3x}}} \right) + {x^2} + 2 = 3x\] và \[4{x_1} + 2{x_2} = a + \sqrt b \], với \[a,\,b\] là hai số nguyên dương. Tính \[a + b\]
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Điều kiện \(\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{3x}} > 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{3x}} > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\end{array} \right.\).
Ta có \[{\log _3}\left( {\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{3x}}} \right) + {x^2} + 2 = 3x\]\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - {\log _3}3x + {x^2} + 2 = 3x\]
\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - {\log _3}x + {x^2} + 1 = 3x\]\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + {x^2} - 2x + 1 = {\log _3}x + x\].
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\).
Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Do đó \(f\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = f\left( x \right)\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = x\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\).
Vậy \(4{x_1} + 2{x_2} = 9 + \sqrt 5 \Rightarrow a = 9;b = 5\). Do đó \(a + b = 14\). Chọn D.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(11,4\).
Lời giải
Vẽ \(AC \bot BF\). Ta có \(CF = 20\;m,BC = 30\;m\). Suy ra \(EF = AC = 40\;m\).
Gọi \(D\) là điểm ở bờ hồ \[EF\] mà các đội đến lấy nước.
Đặt \(ED = x\) thì \(DF = 40 - x;AD = \sqrt {{x^2} + 400} \); \(BD = \sqrt {{{\left( {40 - x} \right)}^2} + 2500} \).
Quãng đường mỗi lượt các đội phải đi là
\(s = AD + BD = \sqrt {{x^2} + 400} + \sqrt {{{\left( {40 - x} \right)}^2} + 2500} \).
Xét hàm số \(f(x) = \sqrt {{x^2} + 400} + \sqrt {{{\left( {40 - x} \right)}^2} + 2500} (0 \le x \le 40)\).
Ta có \[f'(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 400} }} - \frac{{40 - x}}{{\sqrt {{{\left( {40 - x} \right)}^2} + 2500} }}\];
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 400} }} = \frac{{40 - x}}{{\sqrt {{{\left( {40 - x} \right)}^2} + 2500} }} \Leftrightarrow 2500{x^2} - {\left[ {20\left( {40 - x} \right)} \right]^2} = 0 \Leftrightarrow x \approx 11,4\).
Có \(s\left( 0 \right) \approx 84,03\); \(s\left( {11,4} \right) \approx 80,6\); \(s\left( {40} \right) \approx 94,7\).
Vậy đoạn đường đi ngắn nhất mỗi lượt các đội có thể đi là khoảng \(80,6\;m\). Chọn B.
Câu 2
Lời giải
Nếu tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau \(8\) phút tiếp theo là \(Q(a;b;c)\), và có tỉ lệ \(\frac{{MN}}{{NQ}} = \frac{{40}}{8} = 5 \Rightarrow MN = 5NQ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = 5\overrightarrow {NQ} \)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 300 = \frac{1}{5} \cdot \left( { - 200} \right)\\b - 800 = \frac{1}{5} \cdot 600\\c - 10 = \frac{1}{5} \cdot 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 260\\b = 920\\c = 10\end{array} \right. \Rightarrow Q(260;920;10)\).
Vậy \(a + b + c = 260 + 920 + 10 = 1190\). Chọn D.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập