Trong một ngăn kéo có chứa rất nhiều tất (vớ) với 5 màu sắc khác nhau: Xanh, Đỏ, Vàng, Trắng và Đen. Trong điều kiện phòng tối không có ánh sáng, một người cần lấy ra ít nhất bao nhiêu chiếc tất để chắc chắn rằng mình có ít nhất 3 chiếc tất cùng màu?   

Vẽ \(AC \bot BF\). Ta có \(CF = 20\;m,BC = 30\;m\). Suy ra \(EF = AC = 40\;m\).

Gọi \(D\) là điểm ở bờ hồ \[EF\] mà các đội đến lấy nước.

Đặt \(ED = x\) thì \(DF = 40 - x;AD = \sqrt {{x^2} + 400} \); \(BD = \sqrt {{{\left( {40 - x} \right)}^2} + 2500} \).

Quãng đường mỗi lượt các đội phải đi là

\(s = AD + BD = \sqrt {{x^2} + 400}  + \sqrt {{{\left( {40 - x} \right)}^2} + 2500} \).

Xét hàm số \(f(x) = \sqrt {{x^2} + 400}  + \sqrt {{{\left( {40 - x} \right)}^2} + 2500} (0 \le x \le 40)\).

Ta có \[f'(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 400} }} - \frac{{40 - x}}{{\sqrt {{{\left( {40 - x} \right)}^2} + 2500} }}\];

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 400} }} = \frac{{40 - x}}{{\sqrt {{{\left( {40 - x} \right)}^2} + 2500} }} \Leftrightarrow 2500{x^2} - {\left[ {20\left( {40 - x} \right)} \right]^2} = 0 \Leftrightarrow x \approx 11,4\).

Có \(s\left( 0 \right) \approx 84,03\); \(s\left( {11,4} \right) \approx 80,6\); \(s\left( {40} \right) \approx 94,7\).

Vậy đoạn đường đi ngắn nhất mỗi lượt các đội có thể đi là khoảng \(80,6\;m\). Chọn B.

 Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x\) là \(\left( { - 1;2} \right);\left( {1; - 2} \right)\).

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị \(2x + y = 0\)(d).

Hai điểm A, B nằm cùng phía đối với d . Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với A qua d.

Khi đó \[MA{\rm{ }} + {\rm{ }}MB = MA'{\rm{ }} + {\rm{ }}MB \ge A'B\].

Do đó \[MA + MB\] ngắn nhất thì \(M,A',B\)thẳng hàng hay \(M = A'B \cap d\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua A và vuông góc d.

Khi đó đường thẳng \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - 2y + 3 = 0\).

Gọi I là giao điểm của d và \(\Delta \)\( \Rightarrow I\left( { - \frac{3}{5};\frac{6}{5}} \right)\)\( \Rightarrow A'\left( { - \frac{{11}}{5};\frac{2}{5}} \right)\).

\(\overrightarrow {A'B}  = \left( {\frac{{21}}{5};\frac{3}{5}} \right) \Rightarrow \)một vectơ pháp tuyến của \(A'B\)là \(\overrightarrow n \left( {3; - 21} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(A'B\):\(3\left( {x - 2} \right) - 21\left( {y - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 3x - 21y + 15 = 0\).

\(M = A'B \cap d \Rightarrow M\left( { - \frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)\)nên \(a =  - \frac{1}{3};b = \frac{2}{3}\)

Khi đó \(b - a = \frac{2}{3} - \left( { - \frac{1}{3}} \right) = 1\). Chọn A.