Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {6\,;0\,;4} \right)\), \(B\left( { - 3\,; - 2\,;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + 5z + 1 = 0\). Biết \(M\) là điểm thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(MA + MB\) đạt giá trị nhỏ nhất, tính độ dài đoạn \(OM\) (không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng tới hàng phần trăm).

Đáp án: 3,48.

Đặt \(f\left( {x\,;y\,;z} \right) = x + y + 5{\rm{z}} + 1\)

\(f\left( A \right) = 6 + 0 + 5.4 + 1 = 27 > 0\)

\(f\left( B \right) =  - 3 - 2 + 5.1 + 1 = 1 > 0\)

Suy ra hai điểm \(A,\,B\) nằm cùng phía đối với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Gọi \(C\) là điểm đối xứng với \(B\) qua mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Ta có \(MA + MB = MA + MC \ge AC\).

\(MA + MB\) nhỏ nhất bẳng \(AC\) khi \(A,\,M,\,C\) thẳng hàng.

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Phương trình đường phẳng \(BH\): \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + t\\y =  - 2 + t\\y = 1 + 5t\end{array} \right.\).

Tọa độ \(H\) là nghiệm \(\left( {x\,;\,y\,;\,z} \right)\) của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + t\\y =  - 2 + t\\y = 1 + 5t\\x + y + 5z + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + t\\y =  - 2 + t\\y = 1 + 5t\\\left( { - 3 + t} \right) + \left( { - 2 + t} \right) + 5\left( {1 + 5t} \right) + 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + t\\y =  - 2 + t\\y = 1 + 5t\\27t + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{{82}}{{27}}\\y =  - \frac{{55}}{{27}}\\z = \frac{{22}}{{27}}\\t =  - \frac{1}{{27}}\end{array} \right.\)

\(H\left( { - \frac{{82}}{{27}}\,;\, - \frac{{55}}{{27}}\,;\,\frac{{22}}{{27}}} \right)\).

\(H\) là trung điểm của \(BC\), tọa độ \(C\left( { - \frac{{83}}{{27}}\,;\, - \frac{{56}}{{27}}\,;\,\frac{{17}}{{27}}} \right)\);

Điểm \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(AC\) và mặt phẳng \((P)\).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AC\): \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - \frac{{83}}{{27}} - 6;{\mkern 1mu}  - \frac{{56}}{{27}} - 0;{\mkern 1mu} \frac{{17}}{{27}} - 4} \right) = \left( { - \frac{{245}}{{27}};{\mkern 1mu}  - \frac{{56}}{{27}};{\mkern 1mu}  - \frac{{91}}{{27}}} \right)\)

Ta chọn vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AC\) là: \(\vec u =  - \frac{{27}}{7} \cdot \overrightarrow {AC}  = \left( {35\,;{\mkern 1mu} \,8\,;{\mkern 1mu} \,13} \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng \(AC\):\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6 + 35t}\\{y = 8t}\\{z = 4 + 13t}\end{array}} \right.\)

Thay \(x,y,z\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + 5z + 1 = 0\):

\(\left( {6 + 35t} \right) + 8t + 5\left( {4 + 13t} \right) + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow 6 + 35t + 8t + 20 + 65t + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow 108t + 27 = 0 \Rightarrow t =  - \frac{{27}}{{108}} =  - \frac{1}{4}\)

Suy ra \(M\left( { - \frac{{11}}{4}\,;\, - 2\,;\,\,\frac{3}{4}} \right)\)

\(OM = \sqrt {x_M^2 + y_M^2 + z_M^2} \)

\(OM = \sqrt {{{\left( { - \frac{{11}}{4}} \right)}^2} + {{( - 2)}^2} + {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{{121}}{{16}} + 4 + \frac{9}{{16}}} \)

\(OM = \sqrt {\frac{{130}}{{16}} + \frac{{64}}{{16}}}  = \sqrt {\frac{{194}}{{16}}}  = \frac{{\sqrt {194} }}{4} \approx 3,48\).