Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(2\), hình chiếu của \(A'\) trên \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trung điểm \(M\) của \(AB\), góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng \(60^\circ \). Gọi \(N\) là trung điểm của \(CC'\). Tính khoảng cách từ điểm \(B'\) tới mặt phẳng \(\left( {A'MN} \right)\) (không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng tới hàng phần trăm)

a) Phương trình chính tắc của parabol lcó dạng \[{y^2} = 2px\].

Do parabol đi qua điểm \[M(2;1)\] nên \[{1^2} = 2p.2 \Rightarrow p = \frac{1}{4}\].

Vậy phương trình của parabol là \[{y^2} = \frac{1}{2}x\]. Chọn đúng

b) Tổng diện tích hai nửa hình tròn đường kính \[AB,\,\,CD\] là \[{S_1} = \pi .{\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{9\pi }}{4}\,(c{m^2}).\]

Diện tích hình vuông \[ABCD\] là \[{S_2} = {3^2} = 9\,(c{m^2}).\]

Diện tích phần giới hạn bởi parabol và đường thẳng \[MN\] là \[{S_3} = 2\int\limits_0^2 {\sqrt {\frac{1}{2}x} }  = \frac{8}{3}\,(c{m^2}).\]

Vậy diện tích mặt cắt (làm tròn tới hàng đơn vị) là \[S = {S_1} + {S_2} - {S_3} = \frac{{9\pi }}{4}\, + 9 - \frac{8}{3} \approx 13(c{m^2}).\] Chọn sai

c) Thể tích phần lõm của giá để bút được tính bằng công thức \[\pi \int\limits_0^2 {{y^2}dx = } \pi \int\limits_0^2 {\frac{1}{2}xdx} \]. Chọn đúng

d) Phương trình đường tròn đường kính AB là \[{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}\]. Suy ra Phương trình nửa đường tròn đường kính AB là \[y = \frac{3}{2} + \sqrt {\frac{9}{4} - {{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2}} \].

Thể tích của toàn bộ giá để bút là \[V = \pi {\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {\frac{3}{2} + \sqrt {\frac{9}{4} - {{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2}} } \right)} ^2}dx - \pi \int\limits_0^2 {\frac{1}{2}xdx}  \approx 65,5\,(c{m^3})\]. Chọn sai.

Đáp án: 126.

Áp dụng công thức tô \(k\) màu cho \(n\) đỉnh trên 1 vòng tròn

\({\left( {k - 1} \right)^n} + {\left( { - 1} \right)^n}\left( {k - 1} \right)\).

Vậy số cách phát đề cho các thí sinh ngồi quanh bàn tròn là

\({\left( {3 - 1} \right)^7} + {\left( { - 1} \right)^7}\left( {3 - 1} \right) = 126\).