PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Nếu một doanh nghiệp sản xuất \(x\) sản phẩm trong một tháng \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*},1 \le x \le 5000} \right)\) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là \(F\left( x \right) = - 0,03{x^2} + 800x\) (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là \(G\left( x \right) = \frac{{50000}}{x} + 450\) (nghìn đồng). Giả sử số sản phẩm sản xuất ra luôn được bán hết. Trong một tháng, doanh nghiệp đó cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được lớn hơn \(100\) triệu đồng.

Đáp án: 864

Đáy ABCD là hình thoi có \(\widehat {ABC} = 60^\circ  \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác đều.

Gọi độ dài cạnh hình thoi là \(x\).

Vì \(C'A = C'B = C'C\) nên hình chiếu vuông góc của C' lên mặt đáy (ABC) phải cách đều 3 đỉnh A, B, C. Tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) đều chính là trọng tâm G của tam giác đó.

Suy ra \(C'G \bot (ABCD)\) và C'G chính là chiều cao \(h\) của lăng trụ.

Gọi M là trung điểm của BC. Trong \(\Delta ABC\) đều, \(AM \bot BC\) và điểm G nằm trên AM. Do đó \(GM \bot BC\).

Ta có \(BC \bot C'G\) và \(BC \bot GM \Rightarrow BC \bot (C'GM) \Rightarrow BC \bot C'M\).

Góc giữa hai mặt phẳng (BCC'B') và (ABC) chính là \(\widehat {C'MG} = 45^\circ \).

Xét \(\Delta C'GM\) vuông tại \(G\), có \(\widehat {C'MG} = 45^\circ \) nên là tam giác vuông cân \( \Rightarrow h = C'G = GM\).

Ta có \(AM = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow GM = \frac{1}{3}AM = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}\). Vậy \(h = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}\).

Vì \(AA'\parallel CC'\) nên \(AA'\parallel (BCC'B')\). Do đó, khoảng cách \(d(AA',BC) = d(A,(BCC'B')) = 6\sqrt 3 \).

Trong mặt phẳng \((C'AM)\), kẻ \(AH \bot C'M\) tại \(H\). Vì \(BC \bot (C'AM)\) nên \(BC \bot AH\). Suy ra \(AH \bot (BCC'B')\). Khoảng cách chính là đoạn \(AH = 6\sqrt 3 \).

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(G\) lên C'M. Do A, G, M thẳng hàng và \(AM = 3GM\) nên \(d(A,(BCC'B')) = 3d(G,(BCC'B')) \Rightarrow AH = 3GK\).

Trong \(\Delta C'GM\) vuông cân tại \(G\): \(GK = \frac{{C'G \cdot GM}}{{\sqrt {C'{G^2} + G{M^2}} }} = \frac{{GM}}{{\sqrt 2 }}\).

Ta có phương trình: \(AH = 3 \cdot \frac{{GM}}{{\sqrt 2 }} = 6\sqrt 3  \Rightarrow GM = 2\sqrt 6 \).

Thay \(GM = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}\) vào, ta được: \(\frac{{x\sqrt 3 }}{6} = 2\sqrt 6  \Rightarrow x = 12\sqrt 2 \).

Suy ra chiều cao \(h = GM = 2\sqrt 6 \).

Diện tích đáy (hình thoi ABCD) bằng 2 lần diện tích \(\Delta ABC\):

\({S_{ABCD}} = 2 \cdot \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{(12\sqrt 2 )}^2}\sqrt 3 }}{2} = 144\sqrt 3 \).

Thể tích khối lăng trụ: \(V = {S_{ABCD}} \cdot h = 144\sqrt 3  \cdot 2\sqrt 6  = 288\sqrt {18}  = 864\sqrt 2 \).

Theo đề bài \(V = a\sqrt 2 \), ta suy ra \(a = 864\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;\, - 1;\, - 4} \right);\,\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1;\, - 3;\, - 4} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 8;\,8;\, - 4} \right) =  - 4\left( {2;\, - 2;\,1} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\): \(2\left( {x - 0} \right) - 2\left( {y - 1} \right) + \left( {z - 1} \right) = 0\).

\( \Leftrightarrow 2x - 2y + z + 1 = 0\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;\,0;\, - 1} \right)\), bán kính \(R = 2\).

a. Đúng

Ta có: \(h = d\left( {I;\,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 2.0 - 1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{3}\).

Bán kính của đường tròn giao tuyến bằng \(r = \sqrt {{R^2} - {h^2}}  = \sqrt {{2^2} - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\).

b. Sai

\(\left( {ABC} \right):2x - 2y + z + 1 = 0\)

c. Đúng

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;\, - 1;\, - 4} \right)\).

d. Sai

Tọa độ trọng tâm \(G\) của \(\Delta ABC\) là \(G\left( {0;\, - \frac{1}{3};\, - \frac{5}{3}} \right)\).

Khi đó: \(0 + \left( { - \frac{1}{3}} \right) + \left( { - \frac{5}{3}} \right) =  - 2\).