PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Nếu một doanh nghiệp sản xuất \(x\) sản phẩm trong một tháng \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*},1 \le x \le 5000} \right)\) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là \(F\left( x \right) = - 0,03{x^2} + 800x\) (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là \(G\left( x \right) = \frac{{50000}}{x} + 450\) (nghìn đồng). Giả sử số sản phẩm sản xuất ra luôn được bán hết. Trong một tháng, doanh nghiệp đó cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được lớn hơn \(100\) triệu đồng.

Đáp án: \(33,2\).

Dựng trục \(Ox\) như hình vẽ

Xét mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm \(K\) có hoành độ bằng \(x\left( {0 \le x \le 4} \right)\), thiết diện thu được là hình viên phân \(IMN\) có bán kính \(r = KI = KM = KN\).

Ta có \(\frac{{IK}}{{OA}} = \frac{{SK}}{{SO}} \Rightarrow IK = \frac{{OA.SK}}{{SO}} = \frac{{6.\left( {8 - x} \right)}}{8} = \frac{{3\left( {8 - x} \right)}}{4} = 6 - 0,75x \Rightarrow r = 6 - 0,75x\).

\({S_{\Delta KMN}} = \frac{1}{2}KH.MN = \frac{1}{2}.3.2\sqrt {{r^2} - 9}  = 3\sqrt {{r^2} - 9}  = 3\sqrt {{{\left( {6 - 0,75x} \right)}^2} - 9} \)

Đặt \(\widehat {MKN} = \alpha \left( {rad} \right) \Rightarrow \widehat {IKM} = \frac{\alpha }{2}\).

Ta có \(\cos \frac{\alpha }{2} = \frac{3}{r} \Rightarrow \frac{\alpha }{2} = shift\cos \left( {\frac{3}{r}} \right) \Rightarrow \alpha  = 2shiftcos\left( {\frac{3}{r}} \right)\)

\({S_{quat}} = \frac{\alpha }{{2\pi }}.\pi {r^2} = \frac{{\alpha .{r^2}}}{2} = {r^2}.shift\cos \left( {\frac{3}{r}} \right)\)

Diện tích thiết diện là

\(S\left( x \right) = {S_{quat}} - {S_{\Delta KMN}} = {r^2}.shift\cos \left( {\frac{3}{r}} \right) - 3\sqrt {{r^2} - 9} \)

\( = {\left( {6 - 0,75x} \right)^2}.shift\cos \left( {\frac{3}{{6 - 0,75x}}} \right) - 3\sqrt {{{\left( {6 - 0,75x} \right)}^2} - 9} \)

Thể tích cần tính là: \(V = \int\limits_0^4 {S\left( x \right)dx}  \approx 33,2\) (Sử dụng máy tính).

Đáp án: 3057

Tấm bìa hình vuông cạnh \(40\) cm được chia thành:

  • 4 hình chữ nhật ở giữa làm thân lồng đèn,

  • 4 tam giác phía trên và 4 tam giác phía dưới tạo thành 2 hình chóp tứ giác đều.

Vì cạnh hình vuông là 40 và có 4 mặt bên bằng nhau nên cạnh đáy hình lăng trụ là \(\frac{{40}}{4} = 10\) cm.

Đặt:

  • \(AH = KD = x\),

  • chiều cao phần thân là \(HK = 40 - 2x\).

Khi đó:

  • phần thân là lăng trụ đáy vuông cạnh \(10\), cao \(40 - 2x\);

  • mỗi đầu là một hình chóp tứ giác đều đáy cạnh \(10\).

Với tam giác bên của chóp, đường cao mặt bên bằng \(x\), nên chiều cao chóp là

\(h = \sqrt {{x^2} - {{\left( {\frac{{10}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{x^2} - 25} \).

Thể tích đèn lồng: \(V(x) = {10^2}(40 - 2x) + 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot {10^2}\sqrt {{x^2} - 25} \)

\( = 100(40 - 2x) + \frac{{200}}{3}\sqrt {{x^2} - 25} \).

Lấy đạo hàm: \(V'(x) =  - 200 + \frac{{200x}}{{3\sqrt {{x^2} - 25} }}\).

Cho \(V'(x) = 0\):

\( - 200 + \frac{{200x}}{{3\sqrt {{x^2} - 25} }} = 0\)\( \Leftrightarrow x = 3\sqrt {{x^2} - 25} \)\( \Leftrightarrow {x^2} = 9{x^2} - 225\)

\( \Leftrightarrow 8{x^2} = 225\)\( \Rightarrow x = \frac{{15\sqrt 2 }}{4}\).

Thay vào \(V(x)\):

\({V_{\max }} = 4000 - \frac{{2000\sqrt 2 }}{3} \approx 3057,19\).