Cho hình lăng trụ \[ABCD.A'B'C'D'\] có đáy ABCD là hình thoi, số đo \(\widehat {ABC} = 60^\circ \). Biết rằng \(C'A = C'B = C'C\). Góc giữa mặt phẳng \[\left( {BCC'B'} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \(45^\circ \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \[AA'\] và \[BC\] bằng \(6\sqrt 3 \). Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng \(a\sqrt 2 \), giá trị của \(a\) bằng bao nhiêu?

Đáp án: \(33,2\).

Dựng trục \(Ox\) như hình vẽ

Xét mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm \(K\) có hoành độ bằng \(x\left( {0 \le x \le 4} \right)\), thiết diện thu được là hình viên phân \(IMN\) có bán kính \(r = KI = KM = KN\).

Ta có \(\frac{{IK}}{{OA}} = \frac{{SK}}{{SO}} \Rightarrow IK = \frac{{OA.SK}}{{SO}} = \frac{{6.\left( {8 - x} \right)}}{8} = \frac{{3\left( {8 - x} \right)}}{4} = 6 - 0,75x \Rightarrow r = 6 - 0,75x\).

\({S_{\Delta KMN}} = \frac{1}{2}KH.MN = \frac{1}{2}.3.2\sqrt {{r^2} - 9}  = 3\sqrt {{r^2} - 9}  = 3\sqrt {{{\left( {6 - 0,75x} \right)}^2} - 9} \)

Đặt \(\widehat {MKN} = \alpha \left( {rad} \right) \Rightarrow \widehat {IKM} = \frac{\alpha }{2}\).

Ta có \(\cos \frac{\alpha }{2} = \frac{3}{r} \Rightarrow \frac{\alpha }{2} = shift\cos \left( {\frac{3}{r}} \right) \Rightarrow \alpha  = 2shiftcos\left( {\frac{3}{r}} \right)\)

\({S_{quat}} = \frac{\alpha }{{2\pi }}.\pi {r^2} = \frac{{\alpha .{r^2}}}{2} = {r^2}.shift\cos \left( {\frac{3}{r}} \right)\)

Diện tích thiết diện là

\(S\left( x \right) = {S_{quat}} - {S_{\Delta KMN}} = {r^2}.shift\cos \left( {\frac{3}{r}} \right) - 3\sqrt {{r^2} - 9} \)

\( = {\left( {6 - 0,75x} \right)^2}.shift\cos \left( {\frac{3}{{6 - 0,75x}}} \right) - 3\sqrt {{{\left( {6 - 0,75x} \right)}^2} - 9} \)

Thể tích cần tính là: \(V = \int\limits_0^4 {S\left( x \right)dx}  \approx 33,2\) (Sử dụng máy tính).

Đáp án: 3057

Tấm bìa hình vuông cạnh \(40\) cm được chia thành:

  • 4 hình chữ nhật ở giữa làm thân lồng đèn,

  • 4 tam giác phía trên và 4 tam giác phía dưới tạo thành 2 hình chóp tứ giác đều.

Vì cạnh hình vuông là 40 và có 4 mặt bên bằng nhau nên cạnh đáy hình lăng trụ là \(\frac{{40}}{4} = 10\) cm.

Đặt:

  • \(AH = KD = x\),

  • chiều cao phần thân là \(HK = 40 - 2x\).

Khi đó:

  • phần thân là lăng trụ đáy vuông cạnh \(10\), cao \(40 - 2x\);

  • mỗi đầu là một hình chóp tứ giác đều đáy cạnh \(10\).

Với tam giác bên của chóp, đường cao mặt bên bằng \(x\), nên chiều cao chóp là

\(h = \sqrt {{x^2} - {{\left( {\frac{{10}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{x^2} - 25} \).

Thể tích đèn lồng: \(V(x) = {10^2}(40 - 2x) + 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot {10^2}\sqrt {{x^2} - 25} \)

\( = 100(40 - 2x) + \frac{{200}}{3}\sqrt {{x^2} - 25} \).

Lấy đạo hàm: \(V'(x) =  - 200 + \frac{{200x}}{{3\sqrt {{x^2} - 25} }}\).

Cho \(V'(x) = 0\):

\( - 200 + \frac{{200x}}{{3\sqrt {{x^2} - 25} }} = 0\)\( \Leftrightarrow x = 3\sqrt {{x^2} - 25} \)\( \Leftrightarrow {x^2} = 9{x^2} - 225\)

\( \Leftrightarrow 8{x^2} = 225\)\( \Rightarrow x = \frac{{15\sqrt 2 }}{4}\).

Thay vào \(V(x)\):

\({V_{\max }} = 4000 - \frac{{2000\sqrt 2 }}{3} \approx 3057,19\).